Mesurabilité d'une suite de fonctions mesurables

[invitedecc7b70]

Bonjour,

Avant d'en venir à ma question, j'introduis la définition, le lemme et le théorème suivants, issus du livre Principes d'analyse fonctionnelle de Michel Willem :

Définition : Une fonction réelle définie presque partout sur est mesurable (par rapport à ) s'il existe une suite telle que presque partout. L'espace des fonctions mesurables est noté et est l'ensemble des fonctions définies sur et à valeur dans qui sont intégrables.

Lemme : Soit une suite croissante qui converge vers une limite presque partout finie . Alors .

Théorème : Soit une suite qui converge presque partout vers une limite finie . Alors .

Démonstration : D'après le lemme ci-dessus, et .

C'est la première partie de la démonstration du théorème qui me pose problème. Afin de pouvoir utiliser le lemme, je réécris comme la limite d'une suite croissante de fonctions de : . On a donc que . Il reste à prouver que la limite de cette suite est presque partout finie, donc que est presque partout finie. C'est là que ça coince... J'aurais tendance à dire que puisque le supremum est atteint soit à la limite, ce qui donne p.p. finie, ou en un quelconque, ce qui donne . À partir de là, ma question est la suivante : est-ce qu'une fonction mesurable est nécessairement finie presque partout ? Si la réponse est positive, alors la démonstration est terminée. Dans le cas contraire, je ne vois pas comment faire.

Bien à vous,

Nicolas.
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[invitedecc7b70]

Je réponds à ma question : puisque la suite converge (ponctuellement) vers une limite finie, alors elle est bornée. Chaque est donc fini et appartient bien à .