Bonjour à tous,
J'ai une question et j'aimerais que vous donnez votre point de vue :
Est-ce que toutes les fonctions qui vérifient le théorème des valeurs intermédiaires sont mesurables ? Expliquer pourquoi .
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Voici ma réponse,
Toute fonction vérifiant le T.V.I est continue sur l'intervalle où on a appliqué le théorème.
De plus, toute fonction continue est mesurable. Donc, la réponse doit être oui.
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Merci pour votre aide.
"Toute fonction vérifiant le T.V.I est continue sur l'intervalle où on a appliqué le théorème."
Il me semble que ce théorème est faux...
Alors, pouvez vous m'aider ?
Bon déjà pour parler de mesurabilité, il faut préciser la tribu, je suppose que c'est par rapport à la tribu borélienne ici.
Soit A une partie non mesurable de [0,1], elle est forcément non dénombrable car toute partie dénombrable est mesurable. Il y a donc une bijection croissante de A vers ]0,1], appelons-la phi. On définit f : [0,1]->R par : f(x)=phi(x) si x appartient à A, et 0 sinon. On peut voir qu'elle vérifie le TVI mais n'est pas mesurable, car l'image réciproque de ]0,1] est non mesurable, donc non borélienne.
Si tu n'as pas vu d'exemple de partie non mesurable et non borélienne dans ton cours, regarde page 30 de ce polycopié : http://www.proba.jussieu.fr/pagepers.../polyLM364.pdf
mon exemple est incorrect... je corrige
On définit f : [0,1]->R par : f(x)=phi(x) si x appartient à A, et 1 sinon.
Et remplacer vers ]0,1] par vers [0,1]
et l'image réciproque de ]0,1] par de [0,1[
Tu m'as aidé, merci ..
