Mesurabilité d'une fonction

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai un espace de mesure et une suite de fonctions :

convergente ponctuellement vers f(x) alors f(x) est aussi mesurable.

J'ai un peu du mal à voir pourquoi c'est vrai.
Il semblerait que cela résulte du résultat qui affirme que si

est mesurable alors la limite supérieure de la suite l'est aussi.

Cependant j'ai ici une suite à valeur complexe et j'imagine que la justification doit être quelque chose comme :

ou les u_n et les v_n sont à valeurs réelles et convergent ponctuellement (vu que c'est le cas pour fn) vers u(x) et v(x) avec f(x) = u(x) + iv(x).

u(x) et v(x) sont donc mesurable (car si une suite converge alors sa limite égale sa limite sup et cette dernière est mesurable par le résultat ci dessus)

Et comme f = u + iv est mesurable si et seulement si u et v le sont ça termine la preuve.

Non ? Je pense que si mais j'ai quand même un léger doute.

merci
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[invited776e97c]

Qu'est ce qu'on appelle mesurable?

[Bleyblue]

Eh bien c'est la notion classique de mesurabilité en théorie de la mesure, à savoir que l'image réciproque de tout ouvert de l'espace topologique d'arrivée (en l'occurence ici C) est un ensemble mesurable, c'est à dire un élément de la sigma-algèbre A.

[invited776e97c]

Merci à toi.

[A voir en vidéo sur Futura]