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Equation différentielle



  1. #1
    Rendelf

    Equation différentielle


    ------

    bonjour voila ma question :
    soit a un reel strictement positif, on a lim f'(x)+af(x) = 0 lorsque x tend versl'infini; montrer que la limite de f en linfini est 0

    merci d'avance

    -----

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  3. #2
    Le lyceen59155

    Re : equa diff

    Je te propose de poser f'(x)+af(x)=g(x) , g est continue et gtend vers en +inf.

    Tu calcule la solution générale en fonction de cette ed en fonction de cette (intégrale (0..x,g(t)exp(at)dt))*exp(-ax)et tu la sépare en deux intégrale que tu sait contrôler en +inf .

    Et la ca marche.

  4. #3
    pat7111

    Re : Equation différentielle

    Par l'absurde, il me semble qu'on arrive a conclure
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

  5. #4
    pat7111

    Re : equa diff

    Citation Envoyé par Le lyceen59155 Voir le message
    Tu calcule la solution générale en fonction de cette ed
    Le probleme, c'est qu'on n'a pas d'ed me semble-t-il... On a limite de g est nulle en l'infini mais pas g = 0 sur un quelconque intervalle... Supposer g=0 n'est qu'un cas particulier
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Le lyceen59155

    Re : Equation différentielle

    Je n'ai pas dit que g=0 mais g tend vers 0 quand x tend vers l'inf ce qui est la donnée de l'enonce.

  8. #6
    pat7111

    Re : Equation différentielle

    Citation Envoyé par Le lyceen59155 Voir le message
    Je n'ai pas dit que g=0 mais g tend vers 0 quand x tend vers l'inf ce qui est la donnée de l'enonce.
    Soit... Quelle est alors l'equa diff que tu resouds quand tu ecris

    Citation Envoyé par Le lyceen59155 Voir le message
    Tu calcule la solution générale en fonction de cette ed
    Dernière modification par pat7111 ; 27/10/2008 à 21h22.
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

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  10. #7
    Le lyceen59155

    Re : Equation différentielle

    Cette equa diff f'(x)+af(x)=g(x) avec g continue et g fonction de R dans R et qui tend vers 0 quand x tend vers l'inf.

  11. #8
    regok

    Re : Equation différentielle

    Citation Envoyé par Le lyceen59155 Voir le message
    Cette equa diff f'(x)+af(x)=g(x) avec g continue et g fonction de R dans R et qui tend vers 0 quand x tend vers l'inf.
    La démonstration serait propre si f respectait l'equa diff ...
    par exemple, on sait pas si f est défini en 0 pour l'intégral...
    on a juste un comportement en +inf...

  12. #9
    Le lyceen59155

    Re : Equation différentielle

    Oui c'est vrai je te l'accorde , il nous faut plus d'hypothèse mais comme cet exo fait penser à une résolution d'ed , on peut penser que l'énonce a supposer f de Classe C1 sur l'intervalle considéré.

  13. #10
    ericcc

    Re : Equation différentielle

    Voici ce que je ferais :

    Comme la limite de f'+af est 0 à l'infini, il existe un A tel que |f'+af|<epsilon pour x>A

    On multiplie cette inégalité par eax, qui est positif :

    |f'+af|eax<epsilon*eax

    on peut intégrer cette inégalité entre A et x en entrant l'exponentielle, positive, dans la valeur absolue :



    et



    Ensuite, on utilise le fait que (eaxf(x))'=(f'+af)eax pour calculer les intégrales :

    |eaxf(x)-eaAf(A)|</a (eax-eaA)


    On divise cette inégalité par eax et on a bien le résultat demandé en faisant tendre x vers l'infini.

  14. #11
    krikor

    Re : Equation différentielle

    la solution de l'equation différentielle est:

    df/f=-adx; f(x)=c*e^(-ax)

    si x-->inf, f(x)-->0

    bonne chance!

  15. #12
    Le lyceen59155

    Re : Equation différentielle

    Je suis pas d'accord avec la justification de ericc car on ne sait pas si f'+af est continue sur tout intervalle , donc tu ne peut intégré .C'est d'ailleurs le reproche qui m'a été fait.Car ma solution reste vrai puisque l'on ne connait que le comportement en +inf , on peut considéré l'ed sur un intervalle [A;+inf[ et puis la résoudre , mais il nous manque la continuité.

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  17. #13
    ericcc

    Re : Equation différentielle

    si tu peux calculer la limite de f'+af en +infini, c'est que tu sais que f est dérivable, donc continue à partir d'un point A.
    Tu remarqueras que je ne résouds aucune équation différentielle, je me contente d'intégrer une fonction, ce qui est toujours possible avec les conditions données ici. J'utilise le fait que si f(x)<g(x), alors l'intégrale de f est inférieure à celle de g.

  18. #14
    Le lyceen59155

    Re : Equation différentielle

    Oui mais ici c'est la continuité de f'+af !!

    Edit : je viens de comprendre mon erreur sur un dessin.
    Sujet clos.
    Dernière modification par Le lyceen59155 ; 29/10/2008 à 13h42. Motif: Erreur

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