Equation différentielle

[invitefdd81917]

bonjour voila ma question :
soit a un reel strictement positif, on a lim f'(x)+af(x) = 0 lorsque x tend versl'infini; montrer que la limite de f en linfini est 0

merci d'avance
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[invited776e97c]

Je te propose de poser f'(x)+af(x)=g(x) , g est continue et gtend vers en +inf.

Tu calcule la solution générale en fonction de cette ed en fonction de cette (intégrale (0..x,g(t)exp(at)dt))*exp(-ax)et tu la sépare en deux intégrale que tu sait contrôler en +inf .

Et la ca marche.

[pat7111]

Par l'absurde, il me semble qu'on arrive a conclure

[pat7111]

Tu calcule la solution générale en fonction de cette ed

Le probleme, c'est qu'on n'a pas d'ed me semble-t-il... On a limite de g est nulle en l'infini mais pas g = 0 sur un quelconque intervalle... Supposer g=0 n'est qu'un cas particulier

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited776e97c]

Je n'ai pas dit que g=0 mais g tend vers 0 quand x tend vers l'inf ce qui est la donnée de l'enonce.

[pat7111]

Je n'ai pas dit que g=0 mais g tend vers 0 quand x tend vers l'inf ce qui est la donnée de l'enonce.

Soit... Quelle est alors l'equa diff que tu resouds quand tu ecris

Tu calcule la solution générale en fonction de cette ed

[invited776e97c]

Cette equa diff f'(x)+af(x)=g(x) avec g continue et g fonction de R dans R et qui tend vers 0 quand x tend vers l'inf.

[invite173dee73]

Cette equa diff f'(x)+af(x)=g(x) avec g continue et g fonction de R dans R et qui tend vers 0 quand x tend vers l'inf.

La démonstration serait propre si f respectait l'equa diff ...
par exemple, on sait pas si f est défini en 0 pour l'intégral...
on a juste un comportement en +inf...

[invited776e97c]

Oui c'est vrai je te l'accorde , il nous faut plus d'hypothèse mais comme cet exo fait penser à une résolution d'ed , on peut penser que l'énonce a supposer f de Classe C1 sur l'intervalle considéré.

[ericcc]

Voici ce que je ferais :

Comme la limite de f'+af est 0 à l'infini, il existe un A tel que |f'+af|<epsilon pour x>A

On multiplie cette inégalité par e^ax, qui est positif :

|f'+af|e^ax<epsilon*e^ax

on peut intégrer cette inégalité entre A et x en entrant l'exponentielle, positive, dans la valeur absolue :



et



Ensuite, on utilise le fait que (e^axf(x))'=(f'+af)e^ax pour calculer les intégrales :

|e^axf(x)-e^aAf(A)|</a (e^ax-e^aA)


On divise cette inégalité par e^ax et on a bien le résultat demandé en faisant tendre x vers l'infini.

[krikor]

la solution de l'equation différentielle est:

df/f=-adx; f(x)=c*e^(-ax)

si x-->inf, f(x)-->0

bonne chance!

[invited776e97c]

Je suis pas d'accord avec la justification de ericc car on ne sait pas si f'+af est continue sur tout intervalle , donc tu ne peut intégré .C'est d'ailleurs le reproche qui m'a été fait.Car ma solution reste vrai puisque l'on ne connait que le comportement en +inf , on peut considéré l'ed sur un intervalle [A;+inf[ et puis la résoudre , mais il nous manque la continuité.

[ericcc]

si tu peux calculer la limite de f'+af en +infini, c'est que tu sais que f est dérivable, donc continue à partir d'un point A.
Tu remarqueras que je ne résouds aucune équation différentielle, je me contente d'intégrer une fonction, ce qui est toujours possible avec les conditions données ici. J'utilise le fait que si f(x)<g(x), alors l'intégrale de f est inférieure à celle de g.

[invited776e97c]

Oui mais ici c'est la continuité de f'+af !!

Edit : je viens de comprendre mon erreur sur un dessin.
Sujet clos.