Bonjour,
Dans quel(s) cas un changement de repère est-il indispensable pour répondre à une question traitant de surface plane (spécialité) ? En gros, quelle(s) question(s) peut-on avoir dans un DS, au Bac où un tel changement s'avère indispensable ? Pourquoi ne peut-on pas faire autrement ?
Merci.
Si tu as un exemple, un exo type, ou autre à me donner, je pourrais peut être aider, mais n'ayant pas fait spé maths en TS, je ne saispas ce qu'on attend de vous.
Ceci dit, généralement, un changement de repère sert à simplifier l'équation de la surface, à retrouver quelque chose de connu et de facilement exploitable.
Soit C le cône d'équation x^2 + y^2 = z^2. On veut étudier l'intersection de C avec le plan x = 1
Bon on remplace x par 1 et on est amené à déterminer l'ensemble des couples (y, z) tels que (z-y)(z+y) = 1. Bon je vois ici l'utilité, comme on ne peut pas résoudre cette équation dans R et que sous cette forme, on ne peut pas interpréter géométriquement les solutions, on fait un changement de repère.
Dans la solution, il est dit "Ce système nous amène à considérer les droites z - y = 0 et z + y = 0" : pourquoi ?
Aussi,
"ces droites ont peut vecteur directeur unitaire
u = V2/2j + V2/2k et v = V2/2j - V2/2k
Comment détermine-t-on ces relations ?
le plus facile d'abord :
u = V2/2j + V2/2k et v = V2/2j - V2/2k
Comment détermine-t-on ces relations ?
la droite d'équation z - y = 0 est d'équation z=y, or, la droite d'équation z=y, dans le plan considéré, elle a bien comme vecteur directeur j+k (je suppose que j et k sont les vecteurs directeurs des axes Oy et Oz), ça se voit parfaitement sur un dessin.
Si on te donne la droite y=2x+3, dans un plan normal et tout, auras tu des difficultés à en trouver un vecteur directeur ? ici, c'est la même chose.
De même pour v.
Il faut bien se rendre compte qu'à partir de maintenant, on est dans le plan x=1, on n'est plus du tout en géométrie dans l'espace, tout ce qu'on sait sur la géométrie plane s'applique. Entre autres, la droite d'équation y=3 a pour vecteur directeur (3,1)...
deux choses :Dans la solution, il est dit "Ce système nous amène à considérer les droites z - y = 0 et z + y = 0" : pourquoi ?
-sous la forme (x-y)(x+y)=1, si on pose x-y=a, et x+y=b, de sorte que a et b soient des coordonnées dans un nouveau repère, on tombe sur ab=1, autrement dit a=1/b, autrement dit la courbe n'est qu'une hyperbole, et dans ce repère, ça se voit très bien.
Or, ce repère, vu qu'on a été amené à considérer a=x-y et b=x+y, ça veut dit qu'il correspond au repère dont les axes des abscisses et des ordonnées ne sont autre que les droites d'équation x-y=0 et x+y=0.Ainsi, on choisit ces droites là parce que si on les fixe comme repère orthogonal (on remarque au passage qu'elles sont orthogonales entre elles), alors, l'équation prend une tournure simple et connue.
-on dispose dans le supérieur d'une théorie détaillée sur ce genre de problème : lorsqu'un plan intersecte un cône de cette manière, on sait qu'on aura une hyperbole. Et lorsque l'on voit l'équation sous la forme z²-y²=1, on sait que cette hyperbole est équilatère (ses branches sont perpendiculaires), on sait qu'elle sera tourne de pi/2 par rapport à une hyperbole classique y=1/x, enfin bref, on la connait deja, donc, on sait très bien quelles droites vont nous intéresser. Et le rédacteur du sujet et du corrigé le savent aussi.
Au passage, fais une recherche sur les coniques si tu veux la théorie générale sur le sujet : les coniques sont les figures d'intersection entre un cone et un plan, il peut y avoir des hyperboles, des paraboles, ou des ellipses (ou des cas dégénéré...)
