Changement de repère

[Gabriel]

Soit l'équation y= (x-2) + 4/(x+3)
Le graphe de cette fonction admet 2 asymptotes x=-3 et y=x-2, et un centre de symétrie O' (x=-3 y=-5) .
En posant X= x+3 et Y= y+5, l'équation devient dans ce nouveau repère : Y= X + 4/X
On voit que cette courbe pourrait se transformer en une hyperbole Y=1/X en faisant pivoter la 2ème asymptote de 45°.
Pourriez-vous m'aider à écrire d'une manière mathématique ce nouveau changement de repère ?
Merci.
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[God's Breath]

Soit l'équation y= (x-2) + 4/(x+3)
Le graphe de cette fonction admet 2 asymptotes x=-3 et y=x-2, et un centre de symétrie O' (x=-3 y=-5) .
En posant X= x+3 et Y= y+5, l'équation devient dans ce nouveau repère : Y= X + 4/X
On voit que cette courbe pourrait se transformer en une hyperbole Y=1/X en faisant pivoter la 2ème asymptote de 45°.
Pourriez-vous m'aider à écrire d'une manière mathématique ce nouveau changement de repère ?
Merci.

On est dans un repère dans lequel les coordonnées d'un point sont , c'est-à-dire que .

"Faire pivoter la 2ème asymptote de 45°", c'est se placer dans le repère .
On écrit alors , et les coordonnées de dans ce nouveau repère sont et .
L'équation de la courbe devient , et l'on reconnaît l'équation usuelle d'une hyperbole.

[Gabriel]

Merci "God's Breath" pour ta réponse.
C'est facile lorsqu'on connait la réponse !

Autre question : la fonction (ax+b) + k/(cx+d) a un graphe en forme d'hyperbole anamorphosée, avec une asymptote verticale x=-d/c et une asymptote oblique y=ax+b
Je sens au pif, que l'équation de cette courbe peux s'écrire sous la forme Y=A/X en prenant les 2 asymptotes comme nouveau repère.
avec J = j = 1 sur l'axe des Y
et I = a.i sur l'axe des X (asymptote oblique)

Pourrais-tu m'aider à écrire celà d'une manière plus rigoureuse ?
Merci.