Bases et ordre de grandeur

[snsdtiti]

Bonjour,

J'aurais besoin d'une petite explication sur la correction d'un exercice
Les nombres de l'opération suivante sont écrits dans une base b :
31 - - - - - = 12 - - * 20 - -

Donner l'ensemble des bases possibles avec cette seule indication sans chercher à trouver une solution (s'il y en a plusieurs, les séparer par des virgules) :
la réponse est 4, 5, 6.
Cependant je n'arrive pas à comprendre comment trouver le 6 ?

Pour les calculs j'ai fait :
(3b + 1)b^5 < 31 - - - - - < (3b + 2)b^5 (ça permet de connaître quel sont les chiffres minorant et majorant en fonction de la base b)
(1b + 2)b^2 < 12 - - < (1b + 3)b^2
(2b + 0)b^2 < 20 - - < (2b + 1)b^2

Ce qui donne 2 égalités à résoudre
(1b + 2)b^2 * (2b + 0)b^2 = (3b + 1)b^5 b = 3; 0
(1b + 3)b^2 * (2b + 1)b^2 = (3b + 2)b^5 b = 5.541; -0.541 ;0

Du coup j'en ai conclus que les bases possibles étaient 4 et 5 étant donnée de 3<4<5<5.541
Mais d'où sort le 6 ?

Merci d'avance pour vos réponses
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[Resartus]

Bonjour,
Pour que cela marche, il faut que les plus grands facteurs dépassent le plus petit produit, c'est à dire que l'équation a résoudre est :

(1b + 3)b^2 * (2b + 1)b^2 > (3b + 1)b^5, ce qui est vrai si b<6,46

de l'autre coté, c'est le contraire : (plus petits facteurs pour plus grand produit,
(1b + 2)b^2 * (2b + 0)b^2 < (3b + 2)b^5
Cela marche pour b >2, donc 3 serait OK, mais là c'est le fait que le chiffre 3 apparaisse qui empeche de prendre 3 comme base

[snsdtiti]

Ohh d'accord j'ai compris !

Merci beaucoup !!