Exercice : C-espace vect. et poly d'endomorphisme

[math47]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire sont voici l'énoncé :
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Voici ce que j'ai fait pour les questions 1,2 et 3 :
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Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Bonne journée
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[gg0]

Bonsoir.

La question 2 reste à faire. Tu t'es contenté de copier la définition, on peut quand même faire mieux !!!
Pour la question 3, tu as démontré la linéarité de D (je n'ai pas compris pour quoi tu as deux calculs alors que le premier suffit), mais tu n'as pas démontré que c'est un endomorphisme.

J'imagine que c'est un brouillon, tellement c'est mal rédigé. Même si ce sont des exercices pour toi, il faut les rédiger pour en prendre la bonne habitude.

[math47]

Pour la 2, à part donner la définition comment on peut le caractériser ?

Pour la 3, il faut que je dise que D(y) ∈ à E. Si je dis : y ∈ E, D(y) = y' ∈ E + le premier calcul qui montre que D est linéaire, c'est bon ?

[gg0]

Pour la 2, à part donner la définition comment on peut le caractériser ?
Ben .. en donnant explicitement toutes les fonctions qui sont dedans. C'est élémentaire .... et tu as appris ça en lycée ou en L1.

"Si je dis : y ∈ E, D(y) = y' ∈ E " tu te contentes d'affirmer, et comme tu ne prouve rien, ça vaut 0. Encore une fois, aies un peu de sérieux !! tu n'es pas bateleur sur la place du marché, tu fais des maths, tu démontres tout ce que tu dis.

[A voir en vidéo sur Futura]

[math47]

Pour la 2 : S1 est l'ensemble des fonction égales à leur dérivée et seules les fonctions exponentielles f(x) = sont les seules fonctions x = k*exp(x) le sont, donc S1 = { y = k*exp(y)} | k ∈ E } ? Je ne vois pas trop comment le formaliser...

Pour la 3 : peut-on justifier que D(y) = y' ∈ E car l'ensemble des fonctions vérifiant y^(n) = y (Sn donc) est un sous espace vectoriel de E (montré à la question 1) ?

[gg0]

Question 2 : résolution d'une équation différentielle
Question 3 : Je ne vois pas le rapport. C'est un peu bizarre que tu ne cherches pas à utiliser la définition de E. Elle donne une preuve simple, il y a juste à la rédiger.

[math47]

Question 3 : la dérivée d'une fonction C infini est également C infini, c'est correct ?

[math47]

Question 2 : ce sont les fonctions solutions de y′−ay=0 donc les fonctions f(x) = k*e^-G(x) avec G(x) une primitive de a, c'est ça ?

[math47]

Question 4 : Je suis parti sur ça pour commencer : y(n) = y <=> y(n)−y=0 <=> Dn(y)−Id(y)=0 mais je ne vois pas comment continuer...

[jacknicklaus]

Pour la 2 [...] S1 = { y = k*exp(y)} | k ∈ E } ?

euh... y = k*exp(y)... c'est normal que y soit à gauche et à droite du signe = ?
euh... tu es sûr que k ∈ E ? k est une fonction C infini, c'est çà ?

Question 2 : ce sont les fonctions solutions de y′−ay=0 donc les fonctions f(x) = k*e^-G(x) avec G(x) une primitive de a, c'est ça ?

euh... il vient d'où, le a dans y' = ay ?
euh... G(x) une primitive de a... et f(x) = k*e^-G(x)... Mais bien sûr... Bon on va être gentil et supposer que tu as mal dormi.

[gg0]

"la dérivée d'une fonction C infini est également C infini, c'est correct ?" Ça se démontre, vite fait, mais tu esquives depuis le début ce petit travail.

Question 4 : Tu es déjà perdu sur les trois premières question, plus simples, il va falloir décoder ce que ça veut dire (même si c'est quasi évident si on comprend). Déjà, il faut que tu écrives clairement : y(n) n'a rien à voir avec y⁽ⁿ⁾. Que tu peux écrire facilement avec le bouton x² du forum (mode "répondre" ou "Aller en mode avancé). C'est une impolitesse de ne pas le faire.
Ensuite, qu'est, pour toi P_n(D) ? La formulation de la question 4 doit t'aider à répondre. Puis, prenons le polynôme P(X)=X². Qu'est P(D) ? Qu'est ker(P(D)) ? Répondre à ces questions te permettra de comprendre l'énoncé de la question 4.

Cordialement.

[jacknicklaus]

Question 4 : Je suis parti sur ça pour commencer : y⁽ⁿ⁾ = y <=> y⁽ⁿ⁾−y=0 <=> Dⁿ(y)−Id(y)=0 mais je ne vois pas comment continuer...

oui, tu t'approches. Remarque que Identité(y) c'est la dérivée zéro-ième de y... Donc, si tu veux introduire un polynôme P(X) et l'appliquer, quel polynôme convient pour construire le bon P(D) que j'écris en français : "Dérivée n-ième - dérivée zéro-ième" ?

[math47]

Question 2 : les solutions de y' = y sont de la forme : Ce^x, C étant une constante réelle, c'est correct ?

[math47]

Pour répondre à gg0 :
Si P(X) = a0 +a1X +· · ·+akX^k est un polynôme de K[X], alors on définit le polynôme d’endomorphismes P(D) par :P(D) = a0 IdE +a1f + · · · + akf^k
Si on prend P(X) = X². P(D)= D² et Ker(P(D)) est un sous-espace de E stable par D, c'est à dire pour tout x ∈ F, D(x) ∈ F mais j'avoue avoir du mal à l'expliciter...

Pour répondre jacknicklaus :
On a P(D) = y⁽ⁿ⁾ - Id(y)

donc P(X) = -Xⁿ c'est bien ça ?

[gg0]

"Ker(P(D)) est un sous-espace de E stable par D,". Là, tu fais le perroquet, tu répètes une phrase que tu as retenue au lieu de traiter ce qui précède. Inutile de te dire si c'est vrai ou faux, tu ne sais pas de quoi tu parles.
"P(D)= D² et Ker(P(D))" ... =Ker(D²) = { ....} (tu as appris en L1 ce que signifie "ker", utilise ton cerveau pour faire des maths.
Tu n'as pas répondu à ma question : "qu'est, pour toi P_n(D) ?" C'est un réel ? un élément de R^n ?, un polynôme à coefficients réels ? un mot en russe ? Une licorne ? Sois précis. Si tu n'es pas capable de réfléchir à ce qui est écrit, tu copieras sans comprendre ce qu'on te dira, et tu continueras à faire le perroquet.

[math47]

Ker(D²) est un sous-goupe de E ?

Pn(D) est un polynôme à coefficients complexes ?

[gg0]

Première réponse sans intérêt
Deuxième réponse qui montre bien que tu ne comprends pas ce que tu écris !!
Dans l'énoncé, on te parle de ker(P_n(D)), ce serait quoi, le ker pour un polynôme à coefficient complexe ?
Deux remarques :
* Manifestement, ,tu n'apprends pas ton cours (de L1 puis L2)
* Manifestement, tu te refuses à utiliser les indices. Face à cette impolitesse répétée, je renonce à t'aider (mais pas à souligner tes âneries répétitives)

[math47]

"ce serait quoi, le ker pour un polynôme à coefficient complexe ?" le problème est là, je ne sais pas du tout...

[jacknicklaus]

Question 2 : les solutions de y' = y sont de la forme : Ce^x, C étant une constante réelle, c'est correct ?

Pourquoi une constante réelle, y(x) = i.e^xca marche pas ?

Bon, tu corrige ta réponse, et on considère que le 2) est bon.

le 3) maintenant. tu as écrit : Question 3 : la dérivée d'une fonction C infini est également C infini, c'est correct ?
C'est vrai, mais ca mériterait une ligne (c'est quoi la définition d'une C infini)

le 4) où tu patauges un peu. D est un endomorphisme. C'est quoi un polynôme d'endomorphisme ? Si P(X) = a.X² + b.X + c (où a,b,c sont des complexes) , et si D est un endomorphique, P(D) est aussi un endomorphisme, qui appliqué à un élément y de E, donne : P(D)(y) = a.D²(y) + b.D¹(y) + c.y. Où les puissances ne sont évidemment pas des multiplications mais l'application itérée de D. Exemple : D² = D(D).

Dans notre cas, D¹(y) = y'; D²(y) = y'', etc...

P(D) est simplement un endomorphisme, et son Ker se définit comme n'importe quel autre Ker.
Puisque Sn correspond aux fonctions y de E vérifiant y⁽ⁿ⁾ = y, et que y⁽ⁿ⁾ = Dⁿ(y), la suite devrait être évidente... A toi


On va enfin aborder la partie intéressante de cet exercice !

[math47]

Bonjour,

"Pourquoi une constante réelle, y(x) = i.e^xca marche pas ?" parce que les fonctions y ∈ E sont définies sur R à valeurs dans C ? Donc la correction c'est : les solutions de y' = y sont de la forme : Ce^x, C étant une constante complexe ?

Question 3 : la dérivée d'une fonction C infini est également C infini, C infini étant l'ensemble des fonctions f dérivables à l'infini sur I.

Question 4 : P(D)(y) = Dⁿ(y) donc P(D) = Dⁿ

Ker(P(D)) : P(D) = 0
<=> Dⁿ = 0
Or Dⁿ(y) = y
donc Ker(P(D)) = 0

Donc on cherche P(X) tel que Sn = 0
Alors P_n(X) devrait être égal au polynôme nul...?

Je sens que ce que je dis ne va pas mais je n'arrive pas à voir en quoi

[jacknicklaus]

Bonjour,

"Pourquoi une constante réelle, y(x) = i.e^xca marche pas ?" parce que les fonctions y ∈ E sont définies sur R à valeurs dans C ? Donc la correction c'est : les solutions de y' = y sont de la forme : Ce^x, C étant une constante complexe ?

Evidemment ! C'est x qui est à valeur dans R, et y(x) à valeur dans C. Tu as vraiment de drôles de questions


Pour la suite, c'est désespérant. Dernier essai : c'est quoi le polynôme P_n(X) qui, appliqué à D, permet d'obtenir P_n(D)(y) = Dⁿ(y) - y ? Ce qui va nous permettre d'écrire y⁽ⁿ⁾ - y = 0 sous la forme P_n(D)(y) = 0, et donc le lien entre Sn et un Ker?

Relis aussi mon message précédent. Franchement, aller au delà c'est rédiger la solution, ce que je ne ferai pas. Creuses toi un peu les méninges.

[math47]

P_n(X) = Xⁿ - 1, c'est ça ? Ou je n'ai toujours pas compris...?

[jacknicklaus]

P_n(X) = Xⁿ - 1, c'est ça ? Ou je n'ai toujours pas compris...?

miracle ! Bravo !

[math47]

Merci beaucoup de votre aide ! Donc au final on n'a même pas besoin de calculer Ker(P(D)) ?

PS : Comment on fait pour citer les messages des autres de cette façon (envoyé par math47...) ?

[jacknicklaus]

Merci beaucoup de votre aide ! Donc au final on n'a même pas besoin de calculer Ker(P(D)) ?

Où vois tu une question te demandant de "calculer" le Ker ? On te demande simplement de trouver un polynôme P tel que Sn = Ker P(D)

EN revanche, pour la question 5, qui est l'aboutissement de cet exercice, va falloir aller un cran plus loin...

PS : Comment on fait pour citer les messages des autres de cette façon (envoyé par math47...) ?

tu as (du moins, sur le site Web classique) un bouton "répondre avec citation". je ne sais pas si ca existe sur la version pour smartphone que tu utilises peut-être.

[math47]

Si j'ai bien compris le théorème des noyaux, on va avoir : Ker(P_n(D)) = Ker(P₁(X)) + ... + Ker(P_r(X)) avec les P₁, ..., P_r premiers entre eux deux à deux.
Il faut donc trouver une décomposition de P_n(X) = Xⁿ-1 qu'on a trouvé à la question précédente.

Le soucis c'est comment trouver cette décomposition...

[jacknicklaus]

Il faut donc trouver une décomposition de P_n(X) = Xⁿ-1

Tu ne sais pas résoudre xⁿ - 1 = 0 ?

[math47]

Xⁿ - 1 = 0
<=> X = 1

Donc la décomposition de P_n(X) = (X-1)Q(X) avec Q(X) appartenant à C[X] mais je n'arrive pas à trouver Q(X)...

[jacknicklaus]

Xⁿ - 1 = 0
<=> X = 1

tu rigoles j'espère? Relis attentivement la question 4 de ton énoncé et évite de sortir de telles énormités en L1 ou L2, je ne sais pas quel cursus tu suis.

[math47]

Résoudre Xⁿ- 1 = 0 c'est calculer ker(P_n(X)) mais je vois pas trop quoi faire de cette information...?
Avec le théorème des noyaux, on aurait Ker(P_n(D)) = Ker(P_n(X))...?