espace vect

[invite340f0c11]

Bonjour,

voilà enfait j'ai un exercice qui me pose probleme je dois dire si cet ensemble est un sous espace vectoriel de R^3
E=( (x,y,z) appartient à R^3, x-y+2z=0 OU x+y+z=0)

je devais deja faire un exercice ou c'etait ET à la place mais sinon c'etait exactement pareil....et j'ai trouvé que c'etait un sous espace vectoriel
Donc je comprends pas comment faire avec ou parce que si c'est bon pour ET ( c'est à dire que les deux equations sont biens bonnes) forcement pour OU c'est bon ( car il suffit que l'une ou l'autre soient bonnes)

donc je ne comprends pas ce qu'il faut faire là ..
voilà ce que j'ai fait quand c'etait ET ( les equations étaient les memes)

alors soit v (a,b,c) appartient à D ==> a-b+2c=0
(0,0,0) 0-0+2*0=0

et a+b+c=0
(0,0,0) 0+0+0=0

donc D est non vide


u(a,b,c) et v (d, e, f)
(u+v)= (a,b,c)+ (d,e,f)
=(a+d,b+e,c+f)
a+d-(b+e)+2(c+f)=(a-b+2c)+(d-e+2f)
=0

et (a+d)+(b+e)+(c+f) = a+b+c+d+e+f
=0
donc D est stable par l'addition


soit v (d,e,f) appartient à D
d-e+2f=0 et d +e+f=0

alpha appartient à R
alpha*V= alpha(d,e,f)=(alphad,alphae,al phaf)
alpha d - alpha e +2(alpha f)
=0

et alpha d+ alpha e+ alpha f
=0


donc d est stable par le produit

donc d est un sous espace vectoriel

Merci d'avance
-----

[KerLannais]

Salut,

Je vais te donner un élément de réflexion. D'après toi la réponse est la même et la démonstration est pratiquement inchangée puisqu'il faut juste changer les et en ou, je me trompe? Dans ce cas, comment explique tu le fait suivant:

(1,1,0) appartient à E,
(-1/2,1/4,1/4) appartient à E,
la somme de ces deux vecteurs (1/2,5/4,1/4) n'appartient pas à E.

[invite340f0c11]

oui mais c'est pareil, ça ne marche pas aussi pour le et..je comprends pas ce sont les memes equations...

[KerLannais]

Salut,

Pour le et, l'exemple que j'ai donné n'apporte aucune contradiction puisque dans ce cas les vecteurs (1,1,0) et (-1/2,1/4,1/4) n'appartiennent pas à E, dire que la somme de deux vecteurs n'appartenant pas à E n'appartiennent pas à E ne contredit pas le fait que E est un espace vectoriel. Par contre dans le cas du ou, si on trouve deux vecteurs qui appartiennent à E et dont la somme n'appartient pas à E, il est clair que E n'est pas un espace vectoriel.

cette démonstration ne marche pas dans le cas du ou:

u(a,b,c) et v (d, e, f)
(u+v)= (a,b,c)+ (d,e,f)
=(a+d,b+e,c+f)
a+d-(b+e)+2(c+f)=(a-b+2c)+(d-e+2f)
=0

et (a+d)+(b+e)+(c+f) = a+b+c+d+e+f
=0
donc D est stable par l'addition

remplace u et v par les deux vecteurs que je t'ai donné et peut-être que tu trouvera où est l'erreur

[A voir en vidéo sur Futura]