Operateur Borné et Spectre

[invitede8302a1]

Bonjour,

Je n'arrive pas à répondre à cette question.
si quelqu'un peut me venir en aide ....

sur H= L2 (0,1), on considère l'opérateur T borné autoadjoint vérifiant
(Tf)(x)=2(1-cos(2pix))f(x) pour tout f dans H.
On admet que le spectre (complémentaire de l'ensemble résolvant) est égal à [0,4].
On considère la suite de fonctions (fn) telle que fn(x)=1/(racine(2)n) sur [1/2 - n, 1/2 + n] et nulle ailleurs.
Question :
Soit lambda dans [0,4].
A partir de la suite de fonction (fn) centrée en un point x0 convenablement choisi, montrer que l'on peut construire une suite (gn) dans H de norme 1 et telle que la limite dans H de (T - lambda)gn est nulle...
Voilà je ne vois absolument pas...
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[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Je n'arrive pas à répondre à cette question.
si quelqu'un peut me venir en aide ....

sur H= L2 (0,1), on considère l'opérateur T borné autoadjoint vérifiant
(Tf)(x)=2(1-cos(2pix))f(x) pour tout f dans H.
On admet que le spectre (complémentaire de l'ensemble résolvant) est égal à [0,4].
On considère la suite de fonctions (fn) telle que fn(x)=1/(racine(2)n) sur [1/2 - n, 1/2 + n] et nulle ailleurs.
Question :
Soit lambda dans [0,4].
A partir de la suite de fonction (fn) centrée en un point x0 convenablement choisi, montrer que l'on peut construire une suite (gn) dans H de norme 1 et telle que la limite dans H de (T - lambda)gn est nulle...
Voilà je ne vois absolument pas...

Salut,

En gros, tu veux trouver une fonction f tel que
, ce qui s'écrit également .

Bref, tu n'as pas trop le choix, tu dois avoir partout où n'est pas nul, et là, ou est nul, tu peux prendre f comme tu veux.

Ce devrait te donner une indication de comment faire ce qu'on te demande.
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rvz

[invitede8302a1]

Bonsoir rvz,

Je n'ai pas bien compris ton indication.
En gros, je pose T-lambda = 0, dans ce cas j'obtiens x=arccos(1-lambda/2)/2pi...
non je suis vraiment perdu, pour toi je suis sûr que ça parait évident mais je n'ai vraiment aucun recul sur la question et si tu pouvais m'expliquer de manière plus précise, ça serait super sympa
(surtout que ça fait plus d' une heure que j'essaye de comprendre !!)

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je crois que tu viens juste de trouver le x où tu voulais (con)centrer tes fonctions fn....

__
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]