Exercice : C-espace vect. et poly d'endomorphisme

[jacknicklaus]

Résoudre Xⁿ- 1 = 0 c'est calculer ker(P_n(X)) mais je vois pas trop quoi faire de cette information...?

Il faut commencer par résoudre correctement xⁿ - 1 = 0. et NON, la solution ne se limite pas à x = 1 !! Même en terminale on le sait !
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[gg0]

Résoudre Xⁿ- 1 = 0 est un exercice de terminale, et même en seconde, on se rend compte qu'il y a parfois deux racines réelles.

Relire tout l'énoncé de l'exercice est parfois payant.

[math47]

Je corrige : Xⁿ-1 = 0
<=> X = -1
ou X = 1
Mieux ?

[gg0]

Relis la première phrase de l'énoncé.

[math47]

Le polynôme est à coefficients complexes c'est de là dont vient le problème ? Il faut que je trouve des racines complexes ? J'ai pas beaucoup d'expérience avec les polynômes à coefficients complexes...

[jacknicklaus]

Faut pas pousser.

zⁿ = 1, tu sais quand même résoudre cette équation !

Indice : la notation "argument module", celle que tu as apprise en terminale.

[math47]

Z = e^i2kpi/n avec 0 =< k =< n-1
C'est correct ?

[jacknicklaus]

va au bout de la question 5, ne t'arrête pas toutes les deux lignes pour demander si ca va. Applique les maths dans les règles, et ce sera forcément correct.

[math47]

Comme on a Z = ei2kpi/n avec 0 =< k =< n-1, on peut décomposer P_n(X) = (X - e^i2kpi/n)
On a alors :
Ker(P_n(D)) = Ker(X - e^i2kpi/n)

Calculer Ker(X - e^i2kpi/n) revient à résoudre : X - e^i2kpi/n = 0 <=> X = -e^i2kpi/n

Mais là je ne vois pas comment le l'écrire en Ker...? (Ker(X - e^i2kpi/n) = ?? donc je ne peux pas calculer sa dimension)

[jacknicklaus]

P_n(X) = (X - e^i2kpi/n)

Donc un polynôme de degré n devient miraculeusement un polynôme de degré 1. Intéressant.

[math47]

Comme P_n(X) est à coefs complexes il a n racines

La décomposition de Pn(X) = (X - e^i2kpi/n)...(X - e^i2kpi/n) avec (X - e^i2kpi/n) n fois ?

[gg0]

C'est peut-être le moment de refaire une L1 pour en apprendre le programme. Voire de la faire ... Et d'apprendre des choses qu'on voyait autrefois en première, même en brevet de technicien !!

[math47]

En L1 on n'a pas vu ça. En ce qui concerne les polynômes à coefs complexes tout ce qu'on a fait l'année dernière c'est résoudre des équations du second degré...

[math47]

Alors je corrige : Comme Pn(X) est à coefs complexes il a n racines

La décomposition de Pn(X) = X(X - e^i2pi/n)...(X - e^i2(n-1)pi/n)
Qu'en pensez-vous ?

[jacknicklaus]

Pn(X) = X(X - e^i2pi/n)...(X - e^i2(n-1)pi/n)

Donc Xⁿ - 1 = (X - e^i2kpi/n)ⁿ ?

Intéressant.

Pn(X) = X(X - e^i2pi/n)...(X - e^i2(n-1)pi/n)

Donc X divise Xⁿ - 1 ?
Intéressant aussi

[math47]

Ah effectivement... En résolvant Z^n-1 tout à l'heure j'ai trouvé Z = e^i2kpi/n avec 0 =< k =< n-1
Mais je n'arrive pas à trouver car je n'ai qu'une seule racine mais si je factorise avec seulement celle-ci ça donne un polynôme de degré 1 et si je suis ceci : ce n'est pas bon non plus... Je ne comprends rien

[jacknicklaus]

ne pas tenir compte de la 1ère moitié du message précédent; copié collé malheureux. La formule que je voulais citer en 1er était

Pn(X) = (X - e^i2kpi/n)...(X - e^i2kpi/n) avec (X - e^i2kpi/n) n fois

La remarque sur X diviseur Pn[x] reste.

[jacknicklaus]

[... image ... ] ce n'est pas bon non plus... Je ne comprends rien

Pourtant là, tu as trouvé la bonne formule. Que devient t-elle dans le cas a=1, qui est celui qui nous occupe depuis de bien trop nombreux messages ?

[math47]

b = racine n-ième de a
On a alors :
P(X) = X(X-be^i2pi/n)...(X-be^i2(n-1)pi/n) ?

qui nous occupe depuis de bien trop nombreux messages

...Je suis d'accord :'(

PS : J'ai trouvé la fonction quote mais comment préciser le nom de l'utilisateur...?

[Merlin95]

PS : J'ai trouvé la fonction quote mais comment préciser le nom de l'utilisateur...?

Tu peux pas, tu as cette fonction uniquement lorsque tu fais "répondre avec citation". Donc l'astuce pour récupérer cette fonction est d'utiliser "répondre avec citation" éventuellement dans une autre fenétre (par exemple mais tu pourrais aussi copier l'ensemble de ton message et de cliquer sur "répondre avec citation") pour générer ce qui est défini dans la balise quote pour spécifier le nom de l'utilisateur (et le lien vers son message) et le recopier là où tu veux. La pratique est de mettre ce code uniquement sur la première citation du message auquel on répond, c'est clair ?

[math47]

Ça marche merci mais je ne trouve pas l'option en question... Tant pis

[Merlin95]

Ok alors autant pour moi, voir : https://forums.futura-sciences.com/n...-citation.html

[math47]

Alors je teste...

c'est clair ?

Édit : ça y est tout est bon merci beaucoup ! Clair comme de l'eau de roche

[jacknicklaus]

b = racine n-ième de a
On a alors :
P(X) = X(X-be^i2pi/n)...(X-be^i2(n-1)pi/n) ?

Bon je craque. Que tu ne comprennes pas de suite celà ne pose pas problème. Mais que tu ressortes une solution qu'on t'a déjà montrée nawak (post #45) et que tu ne tiennes aucun compte de l'aide suggérée post #48, alors que tu as trouvé une solution toute cuite au post #46, c'est désolant.

Je jette l'éponge.

[stefjm]

Bon, j'arrive après la bataille mais franchement!

Xⁿ - 1 = 0
<=> X = 1

Donc la décomposition de P_n(X) = (X-1)Q(X) avec Q(X) appartenant à C[X] mais je n'arrive pas à trouver Q(X)...

C'est sans doute une blague vu le titre...
Il suffit de faire la division euclidienne (puissance décroissante) de par et de trouver que cela donne



(La récurrence n'est pas trop dure à voir...)

Petite vérif avec Alpha : https://www.wolframalpha.com/input/?...Ci%3D0..n-1%5D

Et encore plus simple comme déjà signalé par d'autres : https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_de_l%27unit%C3%A9

+ si affinité : https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%...e_cyclotomique

[gg0]

Bonjour.
Un terme a sauté dans la formule de Stefjm :

Cordialement.

[stefjm]

Merci pour le bon œil...

[math47]

Mais j'en ai tenu compte, je me suis trompé en rédigeant... b = racine n-ieme de 1
Et ça ne change pas la formule après, si ?
Honnêtement je ne vois pas du tout mon erreur...

Je comprends que vous ne vouliez plus m'aider, merci d'être allé jusqu'ici.

[stefjm]

b = racine n-ième de a
On a alors :
P(X) = X(X-be^i2pi/n)...(X-be^i2(n-1)pi/n) ?

D'où sort ce X ?
0 n'est clairement pas racine de .

[math47]

Je viens de comprendre mon erreur ! Merci stefjm

On a alors :
P(X) = (X-1)(X-e^i2pi/n)...(X-e^i2(n-1)pi/n)
Qui est équivalent à la formule de stefjm complétée par gg0, c'est ça ?