Polynôme à 1 variable réelle

[Polyalg]

Bonjour,
Est-ce que quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider dans un projet personnel de recherche de la résolution d'un polynôme d'ordre 4 sur une fonction réelle à une variable réelle ?
Merci de votre attention et bonne journée à vous.
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[Merlin95]

Non désolé pas en MP, mais ici, oui.

[jacknicklaus]

Bonjour,
Est-ce que quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider dans un projet personnel de recherche de la résolution d'un polynôme d'ordre 4 sur une fonction réelle à une variable réelle ?
Merci de votre attention et bonne journée à vous.

Bonjour,

Oui bien sûr. Pourquoi pas?

Il te suffit de préciser ici ce fameux polynôme de degré 4.


Connais tu la méthode de Ferrari ?
Souhaites-tu des solutions exactes, ou une approche d'approximation numérique te convient-elle ?

[gg0]

Polyalg,

il faudrait expliquer pourquoi tu as écrit "un polynôme d'ordre 4 sur une fonction réelle ... ".

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[SULREN]

Bonjour,

Il s’agit très probablement de trouver une nouvelle méthode formelle, exacte (du type de celle de Ferrari).
C’est très au-dessus de mes compétences et je n’ai aucune possibilité d’aider dans cette discussion.

Mais s’il s’agit de trouver sa propre approche par approximation numérique, plutôt que de se servir de celles disponibles sur Internet :
Je dirais à Polyalg que c’est chose facile, amusante, procurant la satisfaction d’avoir créé son propre outil, toujours à disposition et bien maîtrisé. Il suffit de trouver du temps à y consacrer, de s’y lancer et de venir le cas échéant exposer ses doutes et difficultés.

En ce qui me concerne j’ai choisi la 2eme voie, la seule qui me soit accessible, permettant de résoudre un système de n équations (polynomiales ou pas) à n variables, ce qui couvre les besoins de mes projets et hobbies en tous genres, avec n n’excédant pas 4 en pratique.

[Polyalg]

Trop difficile d'écrire tout cela dans une petite fenêtre 😀
Je me doute que vous n'avez pas confiance.
Moi non plus d'ailleurs.
Ceci étant dit, rien ne m'empêche de le faire tout seul, mais c'est triste 😔

[gg0]

Tu peux parfaitement écrire à la main sur une ou plusieurs feuilles, très lisiblement et scanner ou photographier la ou les feuilles, puis envoyer en pièce jointe.
Et on a parfaitement confiance, tout au plus la question n'est pas claire, telle qu'elle est présentée.

Cordialement.

[Polyalg]

Bonsoir,
Ma question est que je souhaite travailler en équipe sur ce projet.
Je fournis en pièce jointe mon brouillon. Donc, il peut ne pas être très lisible.
Ensuite, il y a une erreur à un moment donné, et, cela me pose une difficulté.

Bonne soirée.

[gg0]

Bonjour.

Difficile de dire quoi que ce soit à partir de ton document, il y a un calcul, juste ou faux, mais dont on ne sait pas pourquoi tu le fais. Une seule phrase, au milieu "on conjecture ..." dont il est difficile de savoir ce qu'elle fait là. La conjecture est bizarre (il y a un k qui n'est pas défini !!!), et je ne sais pas qui est "on". A la fin, un résultat différent, et manifestement sans signification puisque tu n'en dis rien.

Tu dis " je souhaite travailler en équipe sur ce projet". Quelle équipe ? Quel projet (on te l'a demandé plusieurs fois, tu n'as pas répondu) ?
Pour travailler "en équipe", ou même simplement se faire aider, il faut communiquer clairement.
Si c'est un projet personnel, à toi de le présenter clairement. Si c'est un projet d'étude, tu as un sujet précis que tu peux recopier. Pour l'instant, tu continues à interdire aux autres de t'aider.

Cordialement.

[jacknicklaus]

Ton terme en est erroné. ce n'est pas en

mais




La suite, avec la "conjecture" qui sort d'on ne sait où, devient incompréhensible. (d'où sort le m et d'où sort le k ?? )

Cette conjecture est manifestement fausse car tout coefficient b = -2x0 devrait annuler Delta Y, ce qui n'est pas le cas.

[Polyalg]

1/ Oui, effectivement, c'est 4x₀+b, je confirme, je me suis trompé. Merci

2/ La conjecture avec k vient de :

Si Y = A*X
Alors, il existe un nombre k tel que A = Y / k et X = k

3/ Ok, donc, je supprime 2x₀+b de l'équation.

[MissJenny]

2/ La conjecture avec k vient de :

Si Y = A*X
Alors, il existe un nombre k tel que A = Y / k et X = k

donc finalement tu dis qu'il existe un nombre k tel que k=x

si x est un nombre ta conjecture paraît raisonnable...

[gg0]

Polyalg,

ou l'art de rendre encore plus compliqué un calcul qui l'est déjà.
Et comme k dépend de , dans la suite du calcul, l'identification n'a plus de sens. Ce n'est plus que l'erreur habituelle de croire que si a+b+c=d+e+f, alors a=d, b=e, c=f.

En fait, il ne s'agit pas d'une "conjecture", mais le de définition d'une lettre additionnelle, dont il faut être conscient qu'elle dépend de et .

Cordialement.

NB : Une rédaction soignée aurait permis de voir ce qui se passe. Présenter un brouillon est à la limite de l'impolitesse. Et de l'acceptation volontaire d'erreurs faciles à rectifier.

[Polyalg]

Ok, merci pour l'aide
Et, désolé pour le brouillon

[Polyalg]

Bonjour,
Voici le descriptif (détaillé, j'espère) d'une méthode de calcul de la réciproque () d'un polynôme d'ordre 4 avec les coefficients réels b,c,d et e.
Je souhaiterais avancer sur ce projet et c'est pourquoi je cherche une équipe avec qui travailler.
J'espère pouvoir développer un fichier Excel de test, dans un premier temps.
Et, dans un second temps, développer l'application de représentation graphique, sur GeoGebra et puis, une application C#.NET pour avancer vers le polynôme de degré 5.





En me donnant une valeur numérique pour y, je cherche le terme tel que . En d’autre terme, je cherche .



Je conjecture que :

avec

En remplaçant dans (1) cette équation de , j’obtiens :



Le terme k est d’ordre 4 et forme un nouveau polynôme d’ordre 4.



En réduisant au même dénominateur et en faisant passer k de l’autre côté de l’égalité, je peux exprimer la même équation sous une autre forme :



Je regroupe tous les termes du même côté de l’égalité :



Je dois maintenant démontrer que je peux factoriser cette équation en un unique terme d’ordre 4. Pour cela, je pose :



Et par identification, je dois chercher une équation solution avec x_0 telle que je trouve une solution numérique pour x_0.





1) Traitement de la dernière équation






Le terme se simplifie.



Le terme de gauche est d’ordre 4 et le terme de droite est également d’ordre 4. Or, les coefficients des termes de plus haut degré sont 4, 6 et 6, 4 pour donner 1. Ainsi, ce polynôme est d’ordre 3.

2) Les deux premières équations




Je reporte l’équation de v dans v^2



Le dénominateur de droite a un point commun avec le dénominateur de gauche et je simplifie.



De chaque côté de l’égalité, l’ordre est 6. En revanche, pour au moins le terme de degré 6, il s’annule.

En remarquant que se trouve dans les deux équations, alors en combinant les deux équations en et en les posant égales, j’obtiens l’équation suivante :





De chaque côté de l’égalité, le terme de plus de haut degré est bien 4. De plus, il s’annule. Il reste à trouver une équation solution pour . S’il existe des solutions (réelles ou complexes) alors cela signifiera qu’il existe bien une factorisation de l’équation de départ en une équation avec un seul terme d’ordre 4.
Cela permet alors de résoudre en déterminant l’équation de k. Or, si j’ai l’équation de k alors je peux la reporter sur l’équation de ∆x. Cela me donnera alors une équation finale de mais, toujours en choisissant un qui vérifie l’équation solution.

Détermination de l’équation solution

A l’aide du logiciel gratuit wMaxima, je simplifie trois équations : ci-dessous, x vaut pour x_0

c1.png

c2.png

c3.png

J’obtiens bien une équation d’ordre 3 et je sais la résoudre. Je sais alors trouver un x_0 réel ou complexe que je peux utiliser dans l’équation ci-dessous




Or, j’ai dans le système des 3 équations, l’expression de v.



Mon équation de départ avec le terme inconnu k est bien :



Je multiplie et je divise immédiatement par 4 puis par 6 puis par 4 :



En rappelant mon système d’équations :





Je vois que je peux maintenant écrire :



Et, c’est exactement la même équation que celle de excepté pour les constantes. Alors



Et, par conséquent :



C’est-à-dire, en remplaçant v par son expression :



Et, par conséquent :



Avec pour équation solution :



NB : Une fois que l’on a calculé la valeur numérique de x_0 , il est nécessaire de calculer

Conclusion

A priori, le fait de vouloir annuler les 3 composantes ou de les factoriser de la même manière sans diviser par k ne fonctionne pas. En effet, on ne peut pas simultanément annuler les 3 composantes dérivées car il n’y a pas de solution et d’autre part, on ne peut pas les factoriser pour en donner un terme unique d’ordre 4 car l’équation solution est zéro.
Par contre, en utilisant le fait que est ajouté à l’équation, il devient possible de résoudre mais aussi parce que l’on divise par k ce qui a pour effet d’inverser les composantes dérivées.
Ce que l’on remarque, c’est que le terme x_0 ne dépend pas de la valeur numérique de y. Cela signifie que si l’on calcule x_0 alors ses solutions sont valables quelque soit la valeur numérique de y, c’est-à-dire l’ordonnée donnée.

Pour connaître, la valeur numérique exacte de l’abscisse x telle que y=f(x), il suffit de calculer:



On peut également chercher les autres solutions de la fonction f au point d’ordonnée y en posant



Avec le x_0 qui sera la valeur numérique d’une solution trouvée pour l’abscisse x telle que .

NB : La condition est vraie car on peut démontrer que si k=0 alors c’est que ∆y=0. On a alors une indéterminée en 0/0 mais puisque y=y_0 alors x_0 et x sont solutions de l’équation. Mais, x a plusieurs solutions ce qui explique l’indétermination. Au moins une solution peut être affirmée, c’est-à-dire x=x_0.

[gg0]

Bonjour.

1) Dans quel cadre fais-tu cela ?
2) si f est un polynôme de degré 4, f n'a jamais de réciproque, est une notation qui n'a pas de sens. Dès la première ligne de ton "descriptif", il y a un problème.
3) Si tu voulais parler de la résolution de l'équation polynomiale du quatrième degré, le bon contexte est dans les nombres complexes, puisque en gros un polynôme sur deux n'a pas de solution.
4) On sait résoudre les équations polynomiales du quatrième degré, dans , mais il est parfois impossible de le faire purement algébriquement dans
5) C'est quoi, cette histoire de "une équipe avec qui travailler" ???
6) Tu devrais apprendre le sens des mots : "Je conjecture que :" Ce n'est pas une conjecture, et je te l'ai déjà dit.
7) 30 à 50 ligne pour arriver à une équation portant sur un x₀ non défini, est-ce que c'est sérieux ? Et ce x0 à trouver ne peut pas être tel que f(x0)=y puisqu'il ne dépend ni de d ni de e !!!!

J'arrête là, tu manques trop de sérieux dans cette discussion pour qu'on ne puisse pas penser que c'est sans intérêt.

Donc soit tu reviens sur Terre, et tu expliques ce que tu veux vraiment faire (sans ânerie mathématique) et pourquoi (on pourra en parler sainement); soit tu continues ta diarrhée calculatoire et on saura que tu n'es qu'un fantaisiste.

[jacknicklaus]

Bonsoir,

Je n'y vois qu'un calcul abracadabrantesque qui tourne en rond.

désolé.

[Polyalg]

Je n'y vois qu'un calcul abracadabrantesque qui tourne en rond.

J'aime bien le mot abracadabrantesque

C'est un peu magique, en effet.

Et, qui tourne en rond : je n'ai pas la réponse à moins d'utiliser Excel.

[Polyalg]

Bonjour,

Je réponds aux questions :

1) Dans quel cadre fais-tu cela ?

C'est un projet personnel, dans le cadre d'un projet de recherche personnel.
A l'origine, il s'agissait de définir les intervalles des expressions booléennes contenant des expressions mathématiques.
Après, je ne saurai pas dire les intérêts qui se sont ajoutés à ce projet.

2) si f est un polynôme de degré 4, f n'a jamais de réciproque, est une notation qui n'a pas de sens. Dès la première ligne de ton "descriptif", il y a un problème.

Effectivement, a plusieurs valeurs et pour tracer cette courbe, il faut évidemment tracer tous les points x pour chaque valeur de y. Mais, j'ai écris cela pour me raccrocher à quelque chose de connu.

Ce que j'entends par réciproque est composé de plusieurs équations (ou d'une même équation) qui donnent les différents points x en fonction de y pour former la courbe qui est le miroir de f par la fonction 'identité' I(x)=x.

3) Si tu voulais parler de la résolution de l'équation polynomiale du quatrième degré, le bon contexte est dans les nombres complexes, puisque en gros un polynôme sur deux n'a pas de solution.

Il y a effectivement des nombres complexes. Mais, j'ai commencé par choisir un y réel. Pour le x, c'est soit un réel, soit un complexe.

4) On sait résoudre les équations polynomiales du quatrième degré, dans , mais il est parfois impossible de le faire purement algébriquement dans

Que ou , l'équation finale est la même car le terme à la puissance 1/4 peut être négatif et créer un nombre complexe ; cela se voit sur la courbe du polynôme 4 où le y cherché est en dessous de la courbe réelle et il n'y a rien sous cette courbe. Comme il n'y a rien dans , c'est donc dans qu'il y a des solutions.




Je cherche une équipe avec qui travailler sur ce projet.

6) Tu devrais apprendre le sens des mots : "Je conjecture que :" Ce n'est pas une conjecture, et je te l'ai déjà dit.

Effectivement...
Une conjecture est une affirmation qui n'est pas vraie tant qu'elle n'a pas été prouvée. Elle est juste posée et après on développe pour voir si elle fonctionne. Or, j'affirme que . C'est après que je vérifie si cela fonctionne.

7) 30 à 50 ligne pour arriver à une équation portant sur un x0 non défini, est-ce que c'est sérieux ? Et ce x0 à trouver ne peut pas être tel que f(x0)=y puisqu'il ne dépend ni de d ni de e !!!!

Oui, j'ai oublié le coefficient d dans le calcul avec wxMaxima. Merci de la remarque


Après correction, je suis surpris que la solution pour x_0 soit un polynôme d'ordre 2 et pas d'ordre 3 et c'est une très bonne nouvelle.
Le e est une constante, elle est dans y_0.

[Polyalg]

Bonjour,

donc finalement tu dis qu'il existe un nombre k tel que k=x

si x est un nombre ta conjecture paraît raisonnable...

Merci

[gg0]

Bon, inutile de continuer, tu n'acceptes pas de communiquer correctement (à la question su l'équipe, tu réponds en répétant bêtement la même phrase). Ni de lire la définition de "conjecture", et tes calculs sont toujours aussi fantaisistes.
C'est un projet personnel, alors fais le personnellement, puisque tu n'es pas capable de communiquer, donc encore moins de travailler en équipe.

Ciao !