Bonjour tout le monde,
On veut démontrer que les seules variables aléatoires sur un espace de probabilitéoù
sont les fonctions constantes sur
et
.
Voici ma démarche :
Soitune fonction qui n'est pas constante sur
.
Soit maintenant deux valeurs réelleset
telles que
, et que leurs antécédents respectifs
et
reposent sur
ou
(On va supposer qu'ils sont dans
sans nuire à la généralité).
Si on prend une valeurcomprise strictement entre
et
, l'ensemble
ne sera ni
(car
n'y est pas), ni
(car
y est), ni l'ensemble vide ni
, donc ne sera pas contenu dans
, du coup
ne peut être une variable aléatoire puisqu'il existe un réel
tel que
.
Reste à démontrer qu'une fonction constante suret
est une variable aléatoire sur
(c'est évident puisque c'est le cas de la fonction indicatrice).
Merci de me corriger.
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