Variable aléatoire réelle.

[chakib.lem.1]

Bonjour tout le monde,
On veut démontrer que les seules variables aléatoires sur un espace de probabilité où sont les fonctions constantes sur et .

Voici ma démarche :

Soit une fonction qui n'est pas constante sur .
Soit maintenant deux valeurs réelles et telles que , et que leurs antécédents respectifs et reposent sur ou (On va supposer qu'ils sont dans sans nuire à la généralité).


Si on prend une valeur comprise strictement entre et , l'ensemble ne sera ni (car n'y est pas), ni (car y est), ni l'ensemble vide ni , donc ne sera pas contenu dans , du coup ne peut être une variable aléatoire puisqu'il existe un réel tel que .

Reste à démontrer qu'une fonction constante sur et est une variable aléatoire sur (c'est évident puisque c'est le cas de la fonction indicatrice).

Merci de me corriger.
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[toothpick-charlie]

tu te compliques la vie : pour tout réel x, {x} est un borélien, et donc son image réciproque par X doit être dans T.

[chakib.lem.1]

Excusez moi mais je n'ai pas bien saisie votre démonstration.

PS : dans l’énonce on nous a demandé de passer par la définition d'une variable aléatoire réelle.

[chakib.lem.1]

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