Exercice diagonalisation de matrice, vecteur propre

[Xozad]

Bonsoir,

Je galère salement en algèbre linéaire et je pense être tombé sur le pire exercice du genre en TD. Nous avons tout d'abord une matrice 3x3:

0 3 -1
2 -1 1
0 0 2


En calculant le déterminant de A - I λ ( λ étant la valeur propre), j'obtiens le polynôme P( λ) = - ( λ - 2)²( λ + 3). Nous avons donc les valeurs propres λ = 2 (multiplicité 2) et λ = -3

L'ennui étant que pour λ = 2, l'équation Ax = λx revient à poser le système d'équation suivant:

3y - z = 2x
2x - y + z = 2y
2z = 2z

Ce qui revient à

-2x + 3y - z = 0
2x - 3y + z = 0

Au final, une équation à 3 inconnues.

Je suis incapable de déterminer les vecteurs propres de la matrice de passage à partir de ça... d'autant plus qu'il y a une multiplicité algébrique de 2 pour λ = 2.
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[jacknicklaus]

Bonjour,

je pense être tombé sur le pire exercice du genre en TD.

non, vraiment pas !

Au final, une équation à 3 inconnues. .

ben, c'est normal, vu que l'espace propre associé est de dimension 2 ! Où est le problème ?

[Xozad]

non, vraiment pas !

Donc je n'ai pas fini de rigoler... lol

ben, c'est normal, vu que l'espace propre associé est de dimension 2 ! Où est le problème ?

Je ne sais pas comment déterminer les coordonnées des vecteurs propres dans ce cas-là. Dans le cas d'une matrice 2x2 j'aurais simplement pris les coefficients associés à x et y pour chaque valeur propre, dans le cas d'une matrice 3x3 j'aurais combiné les lignes du système afin de trouver une relation entre les variables (puis j'aurais donné une valeur arbitraire à l'une d'entre elles), mais dans le cas où il y a une équation à 3 variables, comment fait-on (sachant qu'on doit exprimer une variable en fonction des deux autres)?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Je suis incapable de déterminer les vecteurs propres de la matrice de passage à partir de ça... d'autant plus qu'il y a une multiplicité algébrique de 2 pour λ = 2.

Mais si vous en êtes capable: prenez un vecteur arbitraire satisfaisant l'équation, puis un second qui lui est orthogonal et qui satisfait aussi l'équation (l'orthogonalité va vous apporter l'équation qui vous manque). Finissez par normaliser les vecteurs trouvés pour avoir une base de vecteurs propres pour cet espace propre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Bonjour,

Aucun besoin d'orthogonaliser ! C'est beaucoup plus simple :
On se retrouve avec une seule équation qu'on peut mettre sous la forme z = -2x + 3y.
x et y sont des variables libres, on peut les choisir comme on veut, et alors avec la valeur de z donnée par z = -2x + 3y on obtient une solution du système, c.-à-d. un vecteur du sous-espace propre associé à la valeur propre 2.
On obtient une base de ce sous-espace propre en choisissant x=1, y=0 (ce qui donne un premier vecteur avec le z correspondant), puis x=0, y=1 (un deuxième vecteur).

Xozad, je te conseille très vivement de réviser la résolution des systèmes linéaires ! Tu n'as pas l'air très au point là-dessus et si tu traînes cette lacune, c'est sûr que tu vas galérer.

[jacknicklaus]

Xozad, je te conseille très vivement de réviser la résolution des systèmes linéaires !

je plussoie. Ce qui a manqué à Xozad, c'est visiblement un point de cours pas assimilé : tout vecteur d'un espace propre est valeur propre. Quand le sev propre est de dimension n, il suffit d’exhiber n vecteurs libres pour en faire une base, et ce choix est arbitraire.

[Xozad]

Xozad, je te conseille très vivement de réviser la résolution des systèmes linéaires ! Tu n'as pas l'air très au point là-dessus et si tu traînes cette lacune, c'est sûr que tu vas galérer.

C'est ce qu'il me semble aussi, merci pour votre aide.