Equation différentielle complexe à deux paramètres et deux fonctions

[MoncherBen]

Bonsoir,
Je bloque en physique face à une équation que je n’arrive pas à résoudre à mon niveau (deuxième année de prépa). J’aimerais déjà savoir de quel genre d’équation différentielle il s’agit, quelles pistes je devrais aborder afin de la résoudre, et si l’on peut la résoudre «sur papier» (sans passer numériquement par des méthodes d’Euler, de résolutions d’équations différentielles, etc.) :



avec x et t comme paramètres, et f et g deux fonctions complexes prenant en argument x.
Merci d’avance!

PS (facultatif (?)) : Il se pourrait qu’un peu de contexte puisse aider : je cherche à étudier l’effet de peau d’un transfert thermique dans un sol. En effet, les variations de température à la surface d’un sol s’amoindrissent quand on s’enfonce dans ce dernier (profondeur du sol représentée par le paramètre x (sol : un espace semi-infini commençant en x=0)). J’ai au départ étudier un cas de mon cours sur les échanges thermiques : on impose à la condition limite x=0 une variation sinusoïdale de la température variant au cours du temps (de paramètre t), de pulsation temporelle . On observe que la température en fonction de x et de t est une sinusoïde amortie en , où est une distance caractéristique indiquant physiquement la portée des variations de température dans le sol. Bref, cela marchait bien…
Cependant pour des raisons de TIPE (Travaux Personnels Encadrés de prépa), je cherche à étudier ce phénomène pour une condition limite x=0 prenant en compte les variations quotidiennes et annuelles de température, d’où cette «symétrie» de l’équation (E): , et pour les variations quotidienne; , et pour les variations annuelles.
En employant le même raisonnement que pour l’effet de peau à une sinusoïde, je tombe alors sur (E), équation qui me gêne un peu.
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[gg0]

Bonjour.

Bizarre que tu tombes sur cette équation, où tu exprimes une dépendance des variations journalières en fonction des variations annuelles (avec un modèle sacrément régulier). Mais si c'est ce que tu voulais, tu peux alors résoudre cette équation différentielle linéaire d'inconnue f(x) en l'écrivant sous la forme habituelle :

(En supposant connue g).

Sinon, si tu veux laisser f et g comme inconnues, cette équation est une relation différentielle entre tes deux fonctions, qui "ne se résout pas", mais s'utilise à d'autres fins.

Cordialement.

[MoncherBen]

Re-, et merci pour la réponse!
En fait, mon objectif est de faire une représentation de l’effet de peau au niveau d’un sol. Je cherche à montrer que l’effet de peau influence les variations de température du sol autant à l’échelle d’une journée, qu’à l’échelle d’une année. J’ai donc opté pour deux modélisations avec des échelles de temps différentes.
Le souci que j’ai alors rencontré – et qui m’a poussé à unir les deux modèles – est le fait que ces deux modélisation proposent des distances caractéristiques différentes (certes), mais qui ne collent pas avec des observations réelles.
Ainsi, je me disais qu’en unissant les deux il y aurait de l’espoir, mais il faudra tout de même que je comprenne cette incompatibilité entre les distances caractéristiques.

Je vais essayer de résoudre en deux fois cette équation : chercher g en supposant f, puis inversement, et finalement voir si les deux solutions sont compatibles.