Arithmétique dans K[X]

**Marmus1021** · 13/02/2022, 15h31

Bonjour !

Voilà un petit exercice de kholle en arithmétique des polynômes, que je n'ai pas réussi à trouver (je l'ai juste commencé en fin de kholle) :
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que dans C[X], X³ⁿ⁺³ + X²ⁿ⁺² + Xⁿ⁺¹ soit divisible par X² + X + 1.

J'ai juste eu le temps de tester quelques valeurs, j'ai constaté par exemple que cela était vrai pour n=0 et pour n=1 (en posant la division euclidienne).
Maintenant j'essaye de poser Q et R tels que X³ⁿ⁺³ + X²ⁿ⁺² + Xⁿ⁺¹ = Q* (X² + X + 1) + R (division euclidienne), avec deg(R) < 2. Donc j'ai posé a,b complexes tels que R = aX + b. Il faudrait donc trouver une condition sur n pour que R soit nul.

Et là je ne sais plus quoi faire. J'ai essayé d'évaluer tout ça en quelques valeurs comme 1, -1... Quelqu'un a une idée ? Si quelqu'un a la condition nécessaire et suffisante, je veux bien la connaître, ce sera plus simple de montrer le résultat ensuite.

Bonne journée !

**jacknicklaus** · 13/02/2022, 16h07

Bonjour,

1) si a et b sont racines de X² + X + 1, que vaut a³ et b³ ?
2) Si X²+X+1 divise X³ⁿ⁺³ + X²ⁿ⁺² + Xⁿ⁺¹, quelle doit être la valeur de a³ⁿ⁺³ + a²ⁿ⁺² + aⁿ⁺¹ ?

**Marmus1021** · 13/02/2022, 18h24

1) On a a² + a + 1 = 0, donc a² = -a -1, puis a³ = -a² - a, donc a³ = 1. Pareil on a b³ = 1.
2) a³ⁿ⁺³ + a²ⁿ⁺² + aⁿ⁺¹ = 0.

Je ne sais pas trop quoi en déduire. Peut-être (a³)ⁿ⁺¹ + (a²)ⁿ⁺¹ + aⁿ⁺¹ = 0, soit (a²)ⁿ⁺¹ + aⁿ⁺¹ = -1 (car a³ = 1). Puis (-a-1)ⁿ⁺¹ + aⁿ⁺¹ = -1.
Quelles informations puis-je en tirer sur n ?

**jacknicklaus** · 13/02/2022, 19h24

En effet, les racines de X²+X+1 sont les 2 racines 3èmes de l'unité différentes de 1.

Pour aider, (pas indispensable) tu peux poser a_n = aⁿ⁺¹.

Alors $0 = a^{3n+3} + a^{2n+2} + a^{n+1 } = a_n.$ a_n^2 + a_n + 1$$

tu vois mieux ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Marmus1021** · 13/02/2022, 20h04

Merci pour les indices ! On a donc aⁿ⁺¹ qui est solution de X² + X + 1 = 0. (car aⁿ⁺¹ non nul). Or les deux solutions de cette équation sont j et j².
Si a=j, il vient jⁿ⁺¹ = j, ou jⁿ⁺¹ = j², soit n=0 ou n=1.
Si a=j², il vient j²ⁿ⁺² = j, ou j²ⁿ⁺² = j², soit n=-1/2 ou n=0.
Donc les valeurs possibles de n sont 0 et 1. (je ne garde pas n=-1/2).
Et réciproquement, j'avais vérifié au début que 0 et 1 fonctionnaient.

Est-ce que la rédaction est convaincante ? Je n'en suis pas sûr...
Cordialement.

**jacknicklaus** · 13/02/2022, 20h15

Non, c'est :
1° jⁿ⁺¹ = j et j²ⁿ⁺¹ = j²
ou
1° j²ⁿ⁺¹ = j et jⁿ⁺¹ = j²

D'autre part, pour jⁿ⁺¹ = j, est ce que n = 30000001 ne serait pas solution ?

**jacknicklaus** · 13/02/2022, 21h25

Envoyé par jacknicklaus

pour jⁿ⁺¹ = j, est ce que n = 30000001 ne serait pas solution ?

Errata. Il faut bien sûr lire : pour jⁿ⁺¹ = j, est ce que n+1 = 30000001 ne serait pas solution ?

**Biname** · 18/02/2022, 04h38

Envoyé par Marmus1021

Bonjour !
Voilà un petit exercice de kholle en arithmétique des polynômes, que je n'ai pas réussi à trouver (je l'ai juste commencé en fin de kholle) :
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que dans C[X], X³ⁿ⁺³ + X²ⁿ⁺² + Xⁿ⁺¹ soit divisible par X² + X + 1.

J'ai juste eu le temps de tester quelques valeurs, j'ai constaté par exemple que cela était vrai pour n=0 et pour n=1 (en posant la division euclidienne).
Maintenant j'essaye de poser Q et R tels que X³ⁿ⁺³ + X²ⁿ⁺² + Xⁿ⁺¹ = Q* (X² + X + 1) + R (division euclidienne), avec deg(R) < 2. Donc j'ai posé a,b complexes tels que R = aX + b. Il faudrait donc trouver une condition sur n pour que R soit nul.

Et là je ne sais plus quoi faire. J'ai essayé d'évaluer tout ça en quelques valeurs comme 1, -1... Quelqu'un a une idée ? Si quelqu'un a la condition nécessaire et suffisante, je veux bien la connaître, ce sera plus simple de montrer le résultat ensuite.

Bonne journée !

C'est toujours vrai ? En mettant successivement x^(n+1) et x en évidence, le numérateur peut s'écrire x.x^(n+1)(x²+x+1) ou x^(n+2)(x²+x+1), je me trompe où ?

Biname

**GBZM** · 18/02/2022, 09h55

Bonjour,

Les racines de $X^2+X+1$ sont les complexes conjugués $j$ et $j^2$
Tu peux en déduire que $X^2+X+1$ divise $X^{3n+3}+X^{2n+2}+X^{n+1}$ si et seulement si $j$ est racine de ce dernier polynôme.
Vu que $j^3=1$ , il y a intérêt à étudier si $j$ est racine de $X^{3n+3}+X^{2n+2}+X^{n+1}$ suivant le reste de la division de $n$ par 3.

**gg0** · 18/02/2022, 10h56

Biname,

$X^{3n+3}+X^{2n+2}+X^{n+1} = X^{n+1}X^{2n+2}+X^{n+1}X^{n+1}+X^{n+1}=X^{n+1}(X^{2n+2}+X^{n+1}+1)<br />$

Cordialement.

**Biname** · 18/02/2022, 14h47

Salut,

Envoyé par gg0

Biname,
$X^{3n+3}+X^{2n+2}+X^{n+1} = X^{n+1}X^{2n+2}+X^{n+1}X^{n+1}+X^{n+1}=X^{n+1}(X^{2n+2}+X^{n+1}+1)<br />$
Cordialement.

La honte

Biname

**jacknicklaus** · 18/02/2022, 15h51

Bonjour,

relire le message #4.

non ?

**gg0** · 18/02/2022, 17h49

Oui.

J'ai seulement éclairci le message.

Cordialement.

**Biname** · 18/02/2022, 18h34

Salut,
Eminents collègues, suite à ma monstrueuse erreur, permettez moi de proposer une conjecture amusante que révèle Wolfram
https://www.wolframalpha.com/input?i...1%29+remainder

Si n est un multiple de 3 moins 1 (n = 3k - 1 pour k > 0) alors le reste de la division de notre polynôme en n par x² + x + 1 est 3, dans tous les autres cas le reste est nul.

Wolfram couple (n,reste) : (0,0), (1,0), (2,3), (3,0), (4,0), (5,3), (6,0), (7,0), (8,3),(9,0), (10,0), (11,3), (12,0), (13,0), (14,3), (15,0), (16,0), (17,3), ... ???

Biname

**GBZM** · 18/02/2022, 23h46

Serais-tu passé à côté de mon message #9 ?

**Biname** · 19/02/2022, 03h41

Envoyé par GBZM

Serais-tu passé à côté de mon message #9 ?

J'ai pas bien suivi ?
j et j² complexes conjugués ? j et j³ oui, car j³ = j.j² = -j et j et -j sont conjugués
Dans aucun des deux cas, ils (j ou j²) ne sont les racines de x²+x+1

En voiture Simone, soit

$P(x) = x^{3n+3} + x^{2n+2} + x^{n+1}$

Les racines de x² + x + 1 sont

$C1=\frac{-1+i sqrt{3}}{2}$

et

$C2=\frac{-1-i sqrt{3}}{2}$

Wolfram donne : (https://www.wolframalpha.com/input?i...9%2F2%29%C2%B3)

$C1^3 = 1$

$C2^3 = 1$

$C1^2 = \frac{1}{2}(-1-i\sqrt(3)) = C2 (1)$

$C2^2 = \frac{1}{2}(-1+i\sqrt(3)) = C1 (2)$

Les racines de x²+x+1 introduites dans le polynôme donnent

$P(C1) = (C1^{3})^{n+1} + (C1^{2})^{n+1} + C1^{n+1} = 1 + C2^{n+1} + C1^{n+1}$

(1) et (2) pour tout p : $C1^{p} + C2^{p} = C1 + C2 = - 1$

$P(C1) = 1 - 1 = 0$

On obtient le même résultat pour C2

$P(C2)=0$

Sauf $erreur^{n+1}$ , C1 et C2, racines de x²+x+1, sont aussi des racines de P(x) ??? mais pas ensemble ??? et alors ??? à suivre ???

Biname

**MissJenny** · 19/02/2022, 05h20

Le nombre que tu notes C1 est d'habitude noté j.

**Biname** · 19/02/2022, 06h10

Envoyé par MissJenny

Le nombre que tu notes C1 est d'habitude noté j.

Ah ! OK, je ne connaissais pas, confondu avec le i=j électricité, mais là aussi ...
C1=J et C1²=J²= C2 le conjugué de C1 ... ça colle trop bien
Me suis aussi gouré en calculant $C3 = C1^p + C2^p$
pour p=1, C3 = C1 + C2 = - 1 et P(C1) = 1-1 = 0 (reste = 0)
pour p=2, C3 = C2 + C1 = - 1 et P(C1) = 1-1 = 0 (reste = 0)
pour p=3, C3 = 1 + 1 = 2 et P(C1) = 1+2 = 3 (reste = 3)
pour p=4, C3 = C1 + C2 et on boucle à p=1
Et on a mes résultats msg #14 CQFD

Voilà ! J'ai réinventé une belle roue

Biname

**GBZM** · 19/02/2022, 14h17

J'ai pas bien suivi ?

Il faut croire que non, puisque $j$ et $j^2$ étaient déjà introduits dans le messages #5.

Petite curiosité : est-ce que tu connais la notion de congruence (ici congruence modulo 3) ?

**Biname** · 19/02/2022, 17h40

Salut,

Envoyé par GBZM

Il faut croire que non, puisque $j$ et $j^2$
étaient déjà introduits dans le messages #5.

Oui, maintenant je suis beaucoup mieux ! C'est malin aussi de l'avoir nommer j

(dit le psychopathe=moi)
Ceci dit, il méritait bien un petit nom ce nombre j dont le carré est son conjugué et dont le cube vaut 1, c'est un cas (*).

Petite curiosité : est-ce que tu connais la notion de congruence (ici congruence modulo 3) ?

Ayant posé une question semblable par ailleurs et espérant une réponse, je vais te répondre : pour 'congruence', le mot ne m'est pas inconnu, il a dû passer il y a très longtemps(ou?), par contre sa signification s'était évaporée ?

Pour modulo, oui

, beaucoup utilisé en programmation.

Une question à mon tour : mon intervention ici était-elle hors charte pour ce groupe ?

Biname

**MissJenny** · 19/02/2022, 19h00

Envoyé par Biname

Ceci dit, il méritait bien un petit nom ce nombre j dont le carré est son conjugué et dont le cube vaut 1, c'est un cas (*).

les racines de l'unité en général ont des propriétés intéressantes. Regarde aussi les polynômes cyclotomiques.

**Biname** · 20/02/2022, 12h45

Envoyé par MissJenny

les racines de l'unité en général ont des propriétés intéressantes. Regarde aussi les polynômes cyclotomiques.

Charme rompu : ces racines de l'unité doivent être des exercices du cours de base sur les nombres complexes, comme probablement la liste de ces polynômes ?
Ici, j'ai trouvé deux racines complexes qu'en toute innocence, j'ai élevé au carré et au cube(*) et les résultats, 1 et le conjugué, m'ont surpris.
Merci à tous
Sejam
(*) ça fait un sacré bail que je n'ai plus élevé un nombre complexe au cube en utilisant les produits remarquables, pareil pour le calcul des racines complexes d'une équation du second degré.

**stefjm** · 20/02/2022, 20h11

En forme polaire , l'élévation au cube est plus facile.

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