Arithmétique dans K[X]

[invitedb2255b0]

Bonjour. Je suis face à un problème concernant les polynome et je sèche.

On nous demande en utilisant la relation de Bézout de trouver tous les polynomes P tel que P+1 sois divisible par et que P-1 sois divisible par .

Ensuite on nous demande de démontrer la même chose mais en utilisant cette fois ci le polynome dérivé P' de P.

Si je ne m'abuse la relation de Bézout fait intervenir les polynome Premier entre eux. (Il faut et il suffit que P et Q soit premier entre pour trouver une combinaison linéaire de P et Q égale à 1)

Si je réecrit çà version math, j'obtient:
Soit



Soit. Par contre je vois pas le rapport avec l'énoncé Oo.
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[inviteaf1870ed]

Si Q(X)=(X-1)^4, le fait que P+1 soit divisible par Q s'écrit :
P(X)+1=Q(X)R(X) soit encore -P(X)+Q(X)R(X)=1 et on retrouve l'ami Bezout

[invitedb2255b0]

Oui je suis arrivé à là sans trop de problème, mais apres je vois pas en quoi çà m'aide :S.

[invite7cf0b55f]

il faut utiliser les hypothèses que P+1 est divisible par (X-1)⁴
et que P-1 lui est divisible par (X+1)⁴.

P+1=Q(x)*(X-1)⁴ , tu dérive et tu fais la même chose pour l autre et tu devrais trouver.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite642cafc1]

Par la dérivée, je ne sais pas où cela aboutit mais en utilisant la relation de Bezout comme demandé cela donne ceci :
P+1=Q(X)(X-1)⁴
P-1=Q'(X)(X+1)⁴
D'où :
2=Q(X)(X-1)⁴+Q'(X)(X+1)⁴
Or, (X-1)⁴ et (X+1)⁴ sont premiers entre eux.
Il existe donc une relation de Bezout de la forme :
1=R(X)(X-1)⁴+R'(X)(X+1)⁴
R et R' de degré au plus 3 (je laisse le calcul...)
En argumentant convenablement, on aboutit à :
il faut que Q(X) =2R(X) +S(X)(X+1)⁴
P=(2R(X) +S(X)(X+1)⁴).(X-1)⁴ -1
Et, en réutilisant la relation de Bezout, on montre que c'est suffisant pour satisfaire également la deuxième condition.

[invitedb2255b0]

Tout d'abord je te remercie pour ta réponse que je n'ai pas vu plus tôt.

Je profiterais de ce petit up pour poser quelque questions à propose de l'arithmétique des polynome, qui n'est pas si différente de l'arithmétique dans Z mais un petit peu néanmoins =).

Voilà, j'ai un bouquin (le cour d'algèbre de J-M. Monier, dans la collection J'Intègre de Dunod) qui m'est très utile comme complément de cour (je suis en fac, pas en prépa ;p) et dans ce bouquin il est stipuler que deux polynome sont premiers entre eux si (et seulement si d'ailleurs) leur PGCD vaut 1.
Quand j'ai dit çà à mon charger de TD l'autre jour, il m'a repris et a préciser que leur PGCD n'étais pas nécessairement 1 mais plutôt un polynome constant.
Apres réflexion il va de soi qu'un polynome constant divise n'importe quel autre polynome (car cela reviens en fait à multiplier par un scalaire), et de là viennent mes interrogation. Est-ce mon bouquin qui se trompe ?
Plus bizarre encore, en admettant que cela soit vrai (ce qui parait évident) alors pourquoi la relation de bézout est-elle ce qu'elle est ? Ne serais-ce alors pas :
PR+QR' = K (où K est un polynome constant) <=> P et Q premier entre eux
?

Bizarre, bizarre, c'est très flou tous çà !