arithmétique dans Z

[invite88c5e6d4]

bonsoir un coup de main serait le bienvenue
soit a,b appartenant à N tels que 1/2(a^3+b^3) soit un nombre premier.
Montrer que a=b=1
merci d'avance pour votre aide
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[invitea6f35777]

Salut

Utilise que

je te ferais remarquer que lorsque le nombre obtenu n'est pas premier puisque 1 n'est pas premier par convention.

[invite88c5e6d4]

oui justement , d'ou le probleme
la prof m'a dit qu'il fallait procéder de cette maniere:
1/ montrer que nécessairement a et b sont impaires
2/ verifier que a^3 + b^3= ((a+b)/2)(a²-ab+b²)
3/en déduire que:
ou bien (a+b)/2=1
ou bien a²-ab +b²=1

le 2/ c'est ok mais le reste , je suis un peu perdu ^^

[invite5150dbce]

la 1 :
Raisonnement par l'absurde
Tu supposes a pair ou b pair
-si a est pair, tu montres que 8|a³
Pour que N soit entier, il est nécessaire que 2|b ==>8|b³
Donc 4|N, N n'est donc pas premier
-même raisonnement avec b pair

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5150dbce]

la 3 :
N est premier donc D(N)={1;N}
Or N=((a+b)/2)(a²-ab+b²)
Comme a²-ab+b² est un entier postif puisque a²-ab+b²>a²-2ab+b²=(a-b)², alors (a+b)/2 est un entier positif
D'où a²-ab+b²|N et (a+b)/2|N
Si a²-ab+b²=1, alors (a+b)/2=N
Si (a+b)/2=N, alors a²-ab+b²=1

[invite5150dbce]

si (a+b)/2=1, alors a+b=2 or comme a et b sont impairs, a ou b est différent de 0 et comme a et b sont postifs ==> a=b=1

si a²-ab +b²=1, alors (a-b)²+ab=1
Donc ab<=1 <=>ab=1 ou ab=0 <=> ab=1 ou (a=0 ou b=0), ce qui est exclu pour a ou b impair
<=>a=1 et b=1
<=>a=b=1

[invite88c5e6d4]

oui ca parait logique ,
merci beaucoup, je vais reprendre le raisonnement une 5eme fois
pourrez tu m'expliquer le sens de
N est premier donc D(N)={1;N}

[invite5150dbce]

Les diviseurs positifs de N sont 1 et N

[invite88c5e6d4]

exelent, merci beaucoup

Bonne soirée

[invite5150dbce]

merci toi aussi