besoin d'aide developement limité (encore)

[invite189c725f]

Bonjour, je bloque sur une question d'exercice concernant le calcul d'un vecteur 4-vitesse dans le cadre de la métrique de Schwarzschild en relativité générale (mais il n'est pas nécessaire de connaitre le jargon relativiste pour résoudre la question).
Il s'agit de simplifier la première composante du vecteur, dont la formule est donnée ci dessous en première ligne, par un développement limité à l'ordre 1:




Je ne comprend pas sur quel paramètre le développement a été fait, habituellement dans ce genre d'exo on prend proche de zéro.
Et si c'est le cas, comment gérer les variables en et ? Car j'imagine que si notre paramètre est en on ne peut pas simplement considérer et comme des constantes pour le reste du DL.


PS: quelqu'un sait comment écrire une dérivée "X point" sur Latex ?
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[jacknicklaus]

bonjour,
on part donc de



on développe au 1er ordre les deux infiniment petits (devant 1) suivants :
1)


et 2)



puis, toujours au 1ordre, on dit à l'intérieur des [...]

car garder les autres termes de cette parenthèse ne ferait que rajouter des termes du second ordre.


Effectivement, tout celà nécessite un peu d'habitude, mais à force d'exercice, on s'y fait.

[albanxiii]

PS: quelqu'un sait comment écrire une dérivée "X point" sur Latex ?

\dot{x} entre les balises ça donne .
Et \ddot{x} .

[invite189c725f]

Merci pour votre réponse, mais j'ai encore certains doutes

1) d'après ta première ligne, tu as déjà fais un developpement limité de la parenthese à la puissance -1 avant de s'attaquer à celle en -1/2.
J'en conclus donc qu'il est possible d'effectuer des développement limités sur les fonctions contenues à l’intérieur de notre fonction de travail et de réinjecter ces DL dans la fonction avant d'effectuer son developpement limité "final"

ou pour le représenter plus simplement: si :

Le DL peut s’effectuer de cette manière:

ou le DL[h] est effectué en premier pour simplifier le DL global

2) si je comprend bien le DL du deuxième membre, c'est en fait tout le terme en qui est considéré comme paramètre du développement et non pas seulement la variable . Donc il est possible au sein d'un même développement limité d'effectuer un "sous" développement limité sur une brique de base de notre fonction (comme je l'explique dans mon premier point) mais avec une variable différente

donc, si :


avec effectué par rapport à la variable
et effectué par rapport à la variable


3) comment justifie tu le fait de séparer ce qui est contenu dans l'accolade élevée à la puissance -1/2 en addition de deux facteurs à la puissance -1/2 ? car on ne peut pas dire que


4) pour le DL de je ne comprend pas le résultat, peux tu développer la démonstration ?



PS : merci albanxiii pour le coup de pouce en Latex

[A voir en vidéo sur Futura]