besoin d'aide developement limité

[invite189c725f]

Bonjour, je suis en pleine lecture d'un cours de relativité générale: https://luth.obspm.fr/~luthier/gourg...er/relatM2.pdf

Je bloque sur la premiere question d'un exercice ou il est question de réaliser un développement limité de la métrique de Schwarzschild

la voici :
Relativité Générale - relatM2.pdf - Mozilla Firefox.jpg

et voilà le développement limité sur lequel je bloque:
Relativité Générale - relatM2.pdf - Mozilla Firefox_2.jpg
Relativité Générale - relatM2.pdf - Mozilla Firefox_3.jpg

Je n'arrive pas du tout à ce résultat en utilisant la formule de Taylor-Young à l'ordre 1, y a t-il une autre méthode ?

(désolé pour les liens je ne maitrise pas encore LaTeX)
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[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

J'imagine que vous savez développer , et lorsque est voisin de 0 ?

[invite189c725f]

Je vois que ça fait longtemps que j'ai pas fait de développement limité. Je n'avais même pas pensé à diviser ma fonction en produits de polynômes simples. Merci pour le coup de pouce

J'obtiens maintenant quelque chose qui ressemble bien plus à la solution proposée. En revanche il me reste une dernière erreur à élucider.
Quand je fais mon développement limité en comme proposé dans la solution j'obtiens dans le second membre de l'addition et non pas .

En revanche cela fonctionne si j'utilise au lieu de

ai-je manqué quelque chose?


(je commence à apprendre Latex)

[jacknicklaus]

Bonjour, mais où donc voyez vous un DL en ?

les termes de premier ordre sont tous en , et comme ils se prennent tous un facteur 4 suite à prise en compte des divers carrés et puissance 4, il reste donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite189c725f]

Justement ça me semble aussi être le plus évident, mais dans l'énoncé:



il est bien indiqué "développement limité au premier ordre en "

j'imagine que le 2 est juste passé à la trappe

[jacknicklaus]

En effet, c'est implicite. Si vous avez une expression en (1+2x)ⁿ avec x au voisinage de zéro, vous ne pouvez pas considérer que l'élément de 1er ordre du DL est x. ca n'a pas de sens. C'est évidemment 2x vous n'avez pas le choix.

Et si dans la même expression vous avez aussi du (1+x)ⁿ, là c'est bien x qui est l'élément de 1 ordre.

C'est pourquoi dans votre texte il est écrit GM/c²r sans le 2. Ou pourrait simplement d'ailleurs dire "un DL au 1er ordre en GM/r car ce sont ces 2 valeurs qui permettent de réaliser un DL. Et bien sûr ca ne change rien.

[albanxiii]

il est bien indiqué "développement limité au premier ordre en "

Pour moi, ou c'est la même chose dans un développement limité, c'est juste une affaire de changement de variable si on veut être rigoureux. Je dirais que c'est une maladresse ou une imprécision de l'énoncé.

Dans tous les cas, votre départ est bon, donc poussez les calculs jusqu'au bout pour voir si vous trouvez pareil, à un réarrangement des coefficients numériques près.

[invite189c725f]

Merci à tous pour vos précisions.