Exercice d'algèbre

[math47]

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé :

Voici ce que j'ai fait et les questions que je me pose : (Pourriez-vous m'éclairer ?)

1. R_l - R_k = R_l-k*10^k

2. Il faut donc montrer que pour tout n appartenant à N(>1), il existe (a,b) appartenant à [1, n+1]², a<b tel que n| R_b - R_a
Mais j'avoue ne pas avoir d'idée même avec l'indication...

3. On a vu que n|R_b - R_a
et R_b - R_a est multiple de 2 ou de 5, R_b - R_a = 0 barre (0 modulo quelque chose)
Si n n'est ni un multiple de 2 ni un multiple de 5, n ne divise pas un entier e = 0 barre donc n ne divise pas R_b - R_a
Or on sait que tout R_k = 1 barre
Donc il existe un k =< n tel que n| R_k

Je dois avouer ne pas être très sûr de cette preuve...

4. si n² = 1 [2]
on pose n = 2k+1
n² = 4k² +4k +1 = 4k(k+1)+1
n² = 1 [4]

On veut montrer que pour k >= 2, il n'existe pas de n tel qu'on ait n² = R_k
Peut-on le montrer par une récurrence sur k...?

Merci d'avance,
Bonne soirée
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[MissJenny]

pour la question 2 tu considères l'ensemble des restes de la division des Rk par n. Comme il y a une infinité de Rk et qu'il n'y a que n restes possibles, on a Rk=Rl [n] pour deux valeurs distinctes de k et l. En d'autres termes n divise Rk-Rl (en supposant k>l) et on a vu que Rk-Rl s'écrivait bien sous la forme 11...110..0

je ne savais pas que le principe des tiroirs était dû à Dirichlet.

[math47]

Merci beaucoup de votre réponse, j'ai tout compris !

[math47]

Je reviens sur la deuxième partie de la 4 :

Je veux montrer que pour k =< 2, R_k n'est pas un carré d'entier.
Je procède par l'absurde.

Pour k =< 2 on suppose qu'il existe un entier n tel que n² = R_k.
On a alors n = sqrt(R_k)
Or sqrt(R_k) n'est jamais entier.
Contradiction.
On a donc bien montré que si k =< 2, R_k n'est pas un carré d'entier.

Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Bonjour,

[...] Or sqrt(R_k) n'est jamais entier.

Et d'où sort cette affirmation ?

[MissJenny]

Qu'en pensez-vous ?

il doit falloir utiliser la première partie et donc calculer les restes de la division de Rk par 2 et par 4.

[math47]

Jacknicklaus : j'ai regardé ce que ça donnait pour quelques valeurs c'est pour ça que j'ai dit ça...

MissJenny : Ce que j'ai rédigé pour la première partie de la 4 est-il juste au moins... ?
De plus, je ne vois pas comment lier la première partie et la deuxième... ?

[jacknicklaus]

Jacknicklaus : j'ai regardé ce que ça donnait pour quelques valeurs c'est pour ça que j'ai dit ça...

moi j'ai regardé 3, 5, 7 et c'est pour ça que je dis que tous les nombres impairs sont premiers...

Sérieux !?? Tu appelles çà faire des maths ?

[math47]

Bonjour,

"sqrt(Rk) n'est jamais entier" car il n'existe aucun carré terminé par plus d'un seul 1 ie. (n un entier) n² = 1...1 n'existe pas car si n^2 se termine par 11, c'est d'abord clair que n se termine par 1 ou 9.
Puis, écrivant n=100k+l, tu dois avoir l^2 qui se termine par 11. Cela ne te fait plus que 11, 21, 31,... à élever au carré.

Si je rajoute ceci, ma preuve est-elle correcte ?

Merci d'avance,
Bonne journée

[jacknicklaus]

Bonjour,

en effet, on peut construire une preuve sur cette idée, elle fonctionne. Il suffit de mieux la rédiger. Mais ce n'est pas l'esprit de l'exercice cf message #6.

[math47]

Ah oui, mince.
On a :
R_k = 2q + r <=> r = R_k - 2q <=> r² = R_k² - 4q²

R_k = 4q + r <=> r = R_k - 4q <=> r² = R_k² - 16q²

Mais je ne vois pas le lien avec la première partie dans le sens où r² n'est pas égal à 1 [2]...?

[MissJenny]

La première partie donne une condition nécessaire pour qu'un nombre soit un carré. Il suffit de montrer que Rk ne vérifie pas cette condition.

[jacknicklaus]

Ah oui, mince.
On a :
R_k = 2q + r <=> r = R_k - 2q <=> r² = R_k² - 4q²

R_k = 4q + r <=> r = R_k - 4q <=> r² = R_k² - 16q²

Mais je ne vois pas le lien avec la première partie dans le sens où r² n'est pas égal à 1 [2]...?

si k>=2, tu peux écrire R_k = 10.R_k-1 + 1
donc R_k = 1 [2]
si R_k = n², alors...


à toi...

[math47]

si R_k = n² alors R_k = 1 [4] avec ce qu'on a vu précédemment. Or R_k n'est pas égal à 1[4].
Ainsi R_k n'est pas un carré d'entier.

Est-ce correct ?

Merci d'avance,
Bonne après-midi

[math47]

Pour la question 6 (je n'ai pas encore fait la 5) : (a) (première partie) Mq si R_k est premier alors k est premier.
Comme R_k est premier, R_k vérifie R_k = q (1)
et R_k = R_k q (2)
Or dans la q.5) on a vu que R_m | R_n (ie. R_n = R_mq) ssi m | n (ie. n = mq)
Ainsi (1) nous donne k = 1q et (2) nous donne k = kq
d'où R_k premier => k premier

(deuxième partie) : On veut montrer que l'implication inverse es fausse. On utilise un contre-exemple. Prenons k premier = 3. On a alors R_k = 111 (111 = 3*37) qui n'est pas premier. Ainsi, k premier n'implique pas R_k premier.

Qu'en pensez-vous ? Est-ce correct ?

(PS : Ce que j'ai fait pour la 3 et pour la première partie de la 4, c'est correct ?)

[jacknicklaus]

Or R_k n'est pas égal à 1[4]

il convient de prouver cette affirmation.

Et c'est très simple. Regarde ce qu'implique R_k = 10.R_k-1 + 1 = 1 [4]

[prch]

Bonjour

et tu l'as posté sur combien de forum ton exercice ? au moins 3 ...