exercice algèbre

[gus910]

Bonjour,


j'ai une exercice à résoudre et je bloque.

Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur IR, u un endomorphisme de E, a et b deux nombres réels distincts.
On note :
e l'application identique de E, v l'endomorphisme u - ae, w l'endomorphisme u - be, M1 le noyau de v, M2 le noyau de vov, N1 le noyau de w.
Partie I
On suppose que vovow = 0, que vow 0, et que M1 et N1 ne sont pas réduits à {0}.
1) Démontrer que M1 M2 et que M1 M2
2)Démontrer que E = N1 M2 et préciser les dimensions de M1, M2, N1.
3) Soit v tilt la restriction de v à M2. Que dire de v tilt o v tilt ?
4) Déterminer le noyau et l'image de v tilt.



Je n'arrive pas à démontrer la question 2.
Démontrer que E = N1 M2

j'ai essayé de raisonner par l'absurde:
Soit y appartenant à N1M2 ou kerwker(vov)
w(y)=0 et vov(y)=0

puis faudrait alors que je montre que y=0.
Mais je bloque

Merci d'avance
-----

[invite57a1e779]

Indication : w(y)=0 fournit u(y)=by...

[gus910]

u(y)=by

vov(y)=0
v(u(y)-ay)=0
v((b-a)y)=0

chui bloqué ^^"
comment trouver que y=0 :/

[invite57a1e779]

v((b-a)y) = (b-a)v(y)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedff4fa84]

v((b-a)y) = (b-a)v(y)

salut
Je crois que vous avez oublier v
on a v(v((b-a)y)) = (b-a)v(y)=0
donc y appartient à M1 ce qui implique que M2 incluse dans M1 absurde sauf si y=0

[gus910]

j'ai donc bien N1M2={0}
faut montrer E= N1 + M2

Je ne sais pas comment procéder.

Merci bien

[invitedff4fa84]

v((b-a)y) = (b-a)v(y)

Désolé je viens de voir le raisonnement de Gus,
parceque moi j'ai raisonner comme ça:
v(y)=u(y)-ay=(b-a)y d ou vov(y)=(b-a)v(y). ça revient en mm

[invitedff4fa84]

essaye de trouver x1 de N1 et x2 de M2 tq pr tt x de E x=x1+x2 en les écrivant en fonction de u(x), v(x) et w(x).
si ce n est pas clair tu n as qu à demander.

[gus910]

ok
malheureusement mes connaissances sont superficielles
et j'aimerais que tu détailles un peu pour comprendre.


Puis dans ce cas
j'ai montré N1interM2={0}
est-ce qu'il faut montrer E=N1+M2
ou dimE=dimN1+dimN2 pour montrer que N1 et M2 sont supplémentaires?

[invitedff4fa84]

oui et pour montrer E=N1+M2 il suffit d montrer une inclusion car la réciproque est évidente.
sinon tu montre que dimM2=2 et que ça existe un element de N1 qui n appartient pas à M2 (c'est plus facile en se basant sur les bases)

[gus910]

3) Soit v tilt la restriction de v à M2. Que dire de v tilt o v tilt ?

je nage...

j'aimerais bien de l'aide

merci beaucoup.

[invitedff4fa84]

3) Soit v tilt la restriction de v à M2. Que dire de v tilt o v tilt ?

je nage...

j'aimerais bien de l'aide
merci beaucoup.

v tilt o v tilt n'est que l'application nulle.
En effet, soit x appartient à M2 vov(x)=0=v tilt o v tilt(x) pour tout x.

[gus910]

Bonjour,

une dernière question à laquelle je bloque,




Merci pour votre aide

[invitedff4fa84]

Cherche à trouver une base (e1,e2,e3) tq u(e1)=a.e1 u(e2)=e1+a.e2 u(e3)=b.e3 et n oublie pas de penser à v et w.

[gus910]

donc faut que je trouve que u(e2)= e1 + a

e2 M2 <=> vov(e2)=0

v(u(e2) - a ))=0

mais je n'aboutis pas.

[invitedff4fa84]

Pour e1 et e3 c'est facile, on a M1 et N1 sont différent de l'ensemble vide, donc il suffit que (e1,e3) appartient à M1.N1;
e2 doit vérifier u(e2)=e1+a.e2 donc v(e2)=u(e2)-a.e2=e1
Je crois que tu va utiliser l'image de vtilt que tu as trouvé dans la question précéent (si tu peux me montrer ta démonstrartion)

[gus910]

Oui voici ma démonstration de





<=>


<=> v(y)=0
donc y



Merci de m'aider pour trouver car je ne le trouve pas.

[gus910]

donc si j'applique
on a






donc mais bon on le savait et cela aide pas trop

mais je ne vois pas trop comment trouver

merci

[invitedff4fa84]

e1 appartient à M1=Im(v tilt) donc ça existe e2 tq v(e2)=u(e2)-a.e2=e1
d'où le résultat...

[gus910]

Ah oui

Merci beaucoup!