les ensembles convexes

[invite3e9d9ecd]

Bonjour à tous,
Je viens de découvrir les convexes et j'avoue ne pas me sentir très à l'aise...
J'ai un exercice qui a pour but de nous faire découvrir les ensembles convexes. Mais j'avoue avoir du mal à me lancer...

Par définition, un ensemble convexe verifie la propriété suivante:
quelquesoit (A,B) appartenant à E² (1)
quelquesoit lambda appartenant à [0;1] (2)
bar {(A;lambda);(B; 1-lambda)} appartient à E (3)

Dans mon exercice, Q appartient à la droite frontière du demi plan E, le vecteur n est normal à cette droite frontière .
E = {M tel que QM(vecteur) scalaire n(vecteur) soit superieur à 0}

on a , par ailleurs:
M appartient à E ssi KM(vecteur) scalaire n(vecteur) superieur à 0

1.
Il faut démontrer que le demi plan E est un ensemble convexe.
Pour ce faire, il faut démontrer que E vérifie la propriété énoncée ci dessus.
on admet (1) et (2).
Mais ensuite, je ne sais pas vraiment comment procéder pour démontrer (3)...
Je comprends la logique de l'exercice, seulement, je suis bloquée...
Il faut démontrer que [AB] appartient à E.
or, on sait que si: G = bar ((A; lambda);(B; 1-lambda)) avec lambda compris sur [0;1]
alors, G appartient au segment AB...
Mais, pour revenir à mon exercice, on ne peut pas prendre comme point de départ le résultat. En d'autres termes, on ne peut pas partir de:
M appartient au [AB] ==> faire la démonsration qui abouti au résultats:
M= bar ((A; lambda); (B; 1-lambda)
Se contenter de dire que:
M appartient à E
et donc par extension que son barycentre aussi
soit: bar ((A; lambda); (B; 1-lambda)appartient à E ...

Je ne pense pas que ce raisonnement soit juste, dans la mesure où j'ai la mauvaise impréssion de partir du résultats et de ne rien démontrer...
Pire encore, dans mon raisonnement je ne prends pas en considération le fait que E soit un demi plan...
Peut être faut il partir de :
E = {M tel que QM(vecteur) scalaire n(vecteur) soit superieur à 0} ???


2. Dans la seconde qustion il est question de démontrer par un contre exemple que la réunion de deux demi plans opposés n'est pas convexes...
Seulement, Qu'est ce qu'un demi plans opposés???? (j'ai chercher sur internet en vain!)

3. Pourait-on me donner des pistes sur la démonstration: un disque est un ensemble convexe sachant que le disque est de centre oméga, de rayon R et l'ensemble des points M vérifient:

(oméga M )² infegal R²

4. Comment montrer que l'interieur d'une ellipse est convexe. Sachant que l'interieur de l'elipse admet pour équation:

(x²/ a²) + (y²/b²) inferieurouégal à 1

Merci d'avance pour le temps que vous me consacrer...

J'attends vos remarques avec impatience !
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[invited5b2473a]

1) Tu y vas tranquillement. Tu considères deux points A, B quelconque et tu veux montrer que [AB] est dans E (car [AB] est exactement l'ensemble des barycentres de A et B pondérés par lambda, 1-lambda). Donc pour cela, tu te donnes un M dans [AB] que tu écris comme M = lambda A + (1-lambda) B. Et tu montres que M est dans E.
Et c'est terminé!
2) J'imagine que tu considères le plan et que tu retires une droite. Tu auras alors la réunion de deux demi-plans qui ne sera pas convexe.
3) Même chose que 1), tu mets en équation : soit A, B dans le disque D. Soit M dans [AB], M = lambda A + (1-lambda) B. A toi de montrer que M est dans D.
4) idem...D'ailleurs 3) se déduit de 4).

[invite3e9d9ecd]

Merci beaucoup indian 58 !!!
Je vais immédiatement plancher sur l'aide inespérée que tu m'as fourni !!!

Bonne soirée

[invited5b2473a]

En gros, un ensemble convexe n'a pas de trous et est "arrondi" et tu peux aller d'un point à un autre tout droit sans sortir de l'ensemble. Par exemple, n'importe quel polyèdre régulier (carré, triangle, pentagone, cube) est convexe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

Salut,

Une chose utile quand on parle d'ensembles convexes est de se souvenir qu'une application affine conserve le barycentre. Par conséquent, l'image d'un ensemble convexe par une application affine est convexe.

Par exemple, pour montrer qu'un demi-plan est convexe, il suffit de le montrer pour le demi-plans des points à ordonnée positive. Et pour montrer qu'un disque est convexe, on peut supposer que son centre est l'origine. Etc...

Au passage, les carrés, triangles, etc... sont des polygones.

[invited5b2473a]

Au passage, les carrés, triangles, etc... sont des polygones.

Oui, désolé pour la petite erreur, mais ça marche quand même.