Equation différentielle non linéaire à deux variables

[stichou]

Bonjour les matheux !

Je fais appel à votre grande bonté car je bloque sur une équation différentielle assez ignoble et peut-être que vous pourriez m'aider ou me donner des pistes.

Le monstre en question est (en coordonnées polaires) :


(Les conditions aux limites et valeurs des paramètres sont donnés à la fin)


Cette équation peut se réécrire sous la forme :
.


Bien sûr comme je n'ai pas réussi à la résoudre avec quelconque et le H devant et comme tout bon physicien que je suis j'ai supposé que (qui est une bonne hypothèse dans le contexte de mon problème) et

J'obtiens finalement :




avec :

J'aurai pu me satisfaire de cette solution en prenant et .

Mais le gros problème auquel je fais face est que pour les grandes valeurs de r le terme à l'intérieur du logarithme devient négatif
J'ai bidouillé ma solution pour que le terme à l'intérieur du logarithme ne devienne pas négatif mais je ne trouve pas ça très élégant :/

Je voudrai donc vous demander :
- Est-il possible de résoudre l'équation différentielle que je vous ai exposé dans un cadre général ? (au moins en supposant seulement )
- Sinon est-ce que vous auriez des idées de fonctions qui pourraient satisfaire mes conditions aux limites et surtout qui ne rendent pas négatif le terme à l'intérieur du logartihme ?

Je vous remercie et vous souhaite à tous un agréable week-end !

Stichou

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Paramètres:


Conditions aux limites sont :

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[Armen92]

Le fait que l'argument du logarithme devienne négatif est (peut-être !?) le symptôme que la solution cherchée est en fait à valeurs complexes (on sait prolonger analytiquement le logarithme à toutes les valeurs complexes de son argument, coupure exceptée évidemment).
Je n'ai pas regardé de près l'équation pour tester cette possibilité...

[eudea-panjclinne]

J'ai refait les calculs je trouve la même chose que vous pour .
Pour le logarithme à argument négatif, je pense que le problème vient simplement de l'intégration de :

qui est pour
,
dans ce cas, dans votre solution pour , il faut mettre :

où

Il reste bien sûr à faire une analyse du signe de .

En espérant vous avoir aidé.