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Equation différentielle non linéaire à deux variables




  1. #1
    stichou

    Equation différentielle non linéaire à deux variables

    Bonjour les matheux !

    Je fais appel à votre grande bonté car je bloque sur une équation différentielle assez ignoble et peut-être que vous pourriez m'aider ou me donner des pistes.

    Le monstre en question est (en coordonnées polaires) :


    (Les conditions aux limites et valeurs des paramètres sont donnés à la fin)


    Cette équation peut se réécrire sous la forme :
    .


    Bien sûr comme je n'ai pas réussi à la résoudre avec quelconque et le H devant et comme tout bon physicien que je suis j'ai supposé que (qui est une bonne hypothèse dans le contexte de mon problème) et

    J'obtiens finalement :




    avec :

    J'aurai pu me satisfaire de cette solution en prenant et .

    Mais le gros problème auquel je fais face est que pour les grandes valeurs de r le terme à l'intérieur du logarithme devient négatif
    J'ai bidouillé ma solution pour que le terme à l'intérieur du logarithme ne devienne pas négatif mais je ne trouve pas ça très élégant :/

    Je voudrai donc vous demander :
    - Est-il possible de résoudre l'équation différentielle que je vous ai exposé dans un cadre général ? (au moins en supposant seulement )
    - Sinon est-ce que vous auriez des idées de fonctions qui pourraient satisfaire mes conditions aux limites et surtout qui ne rendent pas négatif le terme à l'intérieur du logartihme ?

    Je vous remercie et vous souhaite à tous un agréable week-end !

    Stichou

    ****************************** ****************************** *******************

    Paramètres:


    Conditions aux limites sont :

    -----


  2. #2
    Armen92

    Re : Equation différentielle non linéaire à deux variables

    Le fait que l'argument du logarithme devienne négatif est (peut-être !?) le symptôme que la solution cherchée est en fait à valeurs complexes (on sait prolonger analytiquement le logarithme à toutes les valeurs complexes de son argument, coupure exceptée évidemment).
    Je n'ai pas regardé de près l'équation pour tester cette possibilité...
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  3. #3
    eudea-panjclinne

    Re : Equation différentielle non linéaire à deux variables

    J'ai refait les calculs je trouve la même chose que vous pour .
    Pour le logarithme à argument négatif, je pense que le problème vient simplement de l'intégration de :

    qui est pour
    ,
    dans ce cas, dans votre solution pour , il faut mettre :



    Il reste bien sûr à faire une analyse du signe de .

    En espérant vous avoir aidé.


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