Matrice inversible et stabilité

[invite5b23d26d]

Bonjour,

Si une matrice est inversible, et si (par exemple, c'est dans le cadre d'un problème) , est-ce qu'on a ? Car , donc par égalité des dimensions, il y a égalité ?

En fait je crois que c'est faux, mais je ne comprend pas pourquoi. Parce que si c'était vrai, cela impliquerait que , ce qui n'est pas forcément le cas si n'est pas à coefficients entiers ?

Merci d'avance
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[invite9dc7b526]

Tu parles des matrices comme si c'étaient des applications linéaires. Ce n'est pas tout à fait cela, mais passons. Si tu considères l'homothétie de rapport 2 dans R^n, elle est bijective et l'image de Z^n est incluse dans Z^n mais sa restriction à Z^n n'est pas bijective.

[invite5b23d26d]

Merci en fait je pensais comme un sous espace vectoriel de , ce qui n'est pas du tout le cas. D'où ma confusion sur la restriction stable d'un isomorphisme qui reste bijective sur cette restriction, ce qui ne marche pas ici vu qu'on ne raisonne pas sur les bases, mais sur les coefficients... Bref j'ai tout mélangé !

[albanxiii]

Merci en fait je pensais comme un sous espace vectoriel de ,

N'oubliez pas le corps de base !
Ce serait un espace vectoriel sur quel corps ? Cela ne peut-être que (allons au plus simple), mais ne peut pas être un -espace vectoriel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Par contre, est un -module.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Module_sur_un_anneau

Après, les modules, ça reste plus compliqué à manipuler que les espaces vectoriels. Par exemple, contrairement aux espaces vectoriels, un module n'admet pas forcément de base (c'est le cas de vu comme un Z-module)