Matrice inversible

[invite71e1c619]

Bonsoir.
J'ai besoin d'aide pour comprendre un exercice d'algèbre.
Je dois trouver T une matrice inversible tel que
soit diagonale.

Je n'arrive pas à comprendre comment on trouve comme valeur propre de la matrice du milieu et le vecteur propre (1;+-i)
En faisant le déterminant- j'ai des termes avec des cosinus

Merci d'avance
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[gg0]

Bonsoir.

Formules d'Euler ?

[Bruno]

Bonjour,

Une astuce de calcul consiste à remarquer que :



Ce qui fait apparaître une identité qui facilite la factorisation. Et si tu connais par coeur tes matrices de rotation, les vecteurs propres sont évidents.

[invite76543456789]

Salut,
Si tu complexifies l'espace, c'est immédiat. Ta matrice agit par e1-> cos(t) e1+sin (t)e2, et e2-> -sin(t) e1+cos(t) e2.
Si tu regarde l'espace C² vu comme le complexifié de R², où une base est toujours donnée par e1, e2, alors comme e1 plus ou moins i.e2 est aussi une base de C², si tu ecris ta matrice dans cette base, elle est donnée par b_1-> exp(it) b1, et b_2->exp(-it) b2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite71e1c619]

Merci pour vos réponses !
Effectivement remarquer que



aide beaucoup.
Je me rend compte que c'est assez simple de trouver le polynôme caractéristique pour une matrice 2x2, mais qu'en est-il d'une matrice 3x3 ou 4x4 ?
La seule méthode que je connais pour le calcul du déterminant consiste à éliminer des lignes et colonnes ou il y a des0, mais s'il y a des nombres ?