Matrice inversible et déterminant

[invite856a0e25]

Bonsoir,

Je suis en train de résoudre un petit exercice d'algèbre linéaire mais, malheureusement, la dernière question me pose problème.

Voici l'énnoncé :

Soit . On suppose que .
1)Montrer que est inversible.
2) Montrer que est pair.

Alors, pour la première question, voici ce que j'ai fait :
On a , d'où
Ce qui donne .
Donc, est inversible et et .


Pour la seconde question, j'ai un début de réponse mais je n'arrive malheuresuement pas à terminer.
Je dis que l'on a
Donc
Et donc, il suffirait de montrer que est positif pour en conclure que n est pair, mais je n'arrive pas à le faire...
(Un petit détail supplémentaire : mon professeur nous a donné cet exercice dans le cadre du chapitre sur les réductions d'endomorphismes. Je pense donc que cela peut servir dans la résolution de cet exercice, mais je ne vois absolument pas comment. C'est pourquoi j'ai préféré passer par les déterminants. )


C'est pourquoi je vous avoue qu'un petit coup de pouce ne serait pas de refus !



En vous remerciant d'avance pour votre aide,


Mezame.
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[invite9617f995]

Bonjour,

Quelles sont les valeurs propres possibles de A ? N'y aurait-il pas une relation entre les multiplicités de ces deux valeurs propres ?
Il ne resterait plus alors qu'à conclure

Silk

[invite856a0e25]

Hum, à vrai dire, je ne suis même pas sur de moi, su rc e coup-là. Le cours sur les réductions me semblant assez obscurs (enfin, je connais mon cours mais n'arrive pas à l'appliquer. C'est d'ailleurs pourquoi je fais des exercices traîtant de ce sujet. )

Pour trouver les valeurs propres de A, je dois bien passer par le polynôme caractéristique de A ?
Ce polynôme est alors avec l'application telle que , c'est bien cela ?

[invite9617f995]

Attention, il semble y avoir quelques confusions à propos de la réduction. Notamment le polynôme caractéristique est det(A-X*I) où I est la matrice identité. Le polynôme X²+X+2 n'intervient pas dans le polynôme carac, du moins pas directement.
Parce qu'il y a par contre un résultat intéressant sur ce polynôme (celui que je voulais te faire utiliser) : il annule la matrice A donc les valeurs propres de A en sont racines. Est-ce que ce théorème te dit quelque chose ?

Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite856a0e25]

Merci beaucoup pour ton aide !

Je crois que je comprends mieux toutes ces notions, maintenant.
En effet, je connais ce théorème, mais, malheureusement j'ai un peu trop tendance à confondre det(A-X*I) et det(u-X*I) (avec le u que j'ai précédemment défini). C'est pourquoi je ne voyais pas où tu voulais vraiment en venir.

Le polynôme caractéristique de A est donc de la forme (X-r1)*(X-r2), avec r1 et ré les racines du polynôme X²+X+2.
(Soit r1=(-1+i√7)/2 et r2=(-1+i√7)/2). (On remarque par ailleurs que r1 est le conjugué de r2)

Et j'ai alors det(A-X*I)=(X-r1)*(X-r2).
Donc det(A-X*I)=X²-(r1+r2)X+r1r2 = X²-X+4

Mais, si je ne me suis pas trompé, je ne vois pas pourquoi cela me permet de conclure que n est pair...
(Je n'ai peut-être pas été assez loin dans mon raisonnement ? )

[invite856a0e25]

En fait, je viens de comprendre.
On a, en réalité, det(A-X*I)=(X-r1)^p*(X-r2)^p
Et, comme det(A-X*I) est de degré n, alors, n=2p, ce qui entraîne que n est pair.

En tout cas, merci beaucoup pour ton aide, silk78.

[invite9617f995]

En fait, le fait de savoir que r1 et r2 sont valeurs propres ne veut pas dire que le polynôme carac est (X-r1)(X-r2) : en fait le polynôme caractéristique est de la forme (X^r1)^n1*(X-r2)^n2, où n1 et n2 sont les multiplicités de r1 et r2 en tant que valeur propre. Tu as alors n=n1+n2.
Ensuite, comme tu l'as fait remarquer r1 et r2 sont complexes conjugués. Or A est réelle. Est-ce que tu connais un théorème sur les multiplicités des valeurs propres conjuguées d'une matrice réelle ?


Sinon, je ne vois pas quel sens tu donnes à ton det(u-X*I) ? u n'est pas une matrice donc que vois-tu dans ce déterminant ?

Silk

Edit : visiblement le temps que j'écrive mon message, mais sais-tu justifier que r1 et r2 ont même multiplicité p ?

[invite856a0e25]

Edit : visiblement le temps que j'écrive mon message, mais sais-tu justifier que r1 et r2 ont même multiplicité p ?

Non, justement. Ce théorème n'est pas présent dans mon cours. C'est un fait que j'ai utilisé, mais je n'a pas su le justifier.

Par ailleurs, mon professeur a corrigé cet exercice, aujourd'hui, et il a répondu à cette question d'une manière fort simple :
.
D'où.
On pose .
Alors et .
est donc forcément pair.

Il n'empêche que la méthode que tu m'as proposé m'a été bien utile, puisqu'elle m'a permit d'éclarcir certains points du cours qui me paraissaient obscurs. Merci !