Matrice inversible

[brady32]

Je dois calculer P^(-1) avec la méthode du pivot de gauss:

J'ai la matrice

P=1 3 1
0 2 1
1 0 -1

Et la matrice identité

I3= 1 0 0
0 1 0
0 0 1

je commence avec le premier pivot

1 3 1
0 2 1
1 0 -1

Ensuite j'ai inversé la ligne 2 avec la ligne 3 ce qui me donne

P= 1 3 1
1 0 -1
0 2 1

Et I3= 1 0 0
0 0 1
0 1 0

Puis j'ai remplacé la ligne 2 par (ligne 1 - ligne 2):

Ce qui me donne le deuxième pivot 3

P= 1 3 1
0 3 2
0 2 1

Et I3=1 0 0
1 0 -1
0 1 0

Enfin en remplaçant la ligne trois par 3*ligne3-2*ligne2 j'ai mon troisième pivot -1:

P= 1 3 1
0 3 2
0 0 -1

Ce qui voudrait dire que ma matrice inverse vaut

I3= 1 0 0
1 0 -1
-2 3 2

Ce qui est faut car sur l'énnoncé il est écrit que je devrais trouver

P^(-1)=2 -3 -1
-1 2 1
2 -3 -2

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[KerLannais]

Salut,

L'énoncé est correct, révise ta méthode du pivot de Gauss, la méthode s'arrète lorsque la matrice P a été transformée en la matrice identité. Toi tu t'es arrèté à

alors forcément ça ne marche pas

[brady32]

Euh très bien mais je dois faire quoi alors la?

[sylvainc2]

Tu dois aussi réduire les éléments de P et I3 qui sont au-dessus du pivot, pas seulement ceux en-dessous, de sorte que, à la fin, P est transformée en la matrice identité, et I3 en l'inverse de P.

[A voir en vidéo sur Futura]

[brady32]

Tu dois aussi réduire les éléments de P et I3 qui sont au-dessus du pivot, pas seulement ceux en-dessous, de sorte que, à la fin, P est transformée en la matrice identité, et I3 en l'inverse de P.

Ok j'ai compris donc j'ai continué à développer P pour retrouver I

P= 1 3 1
0 3 2
0 0 -1

Dons P est inversible car elle est de rang 3
Alors j'ai remplacé la ligne 1 par (ligne1-ligne2):

P= 1 0 -1
0 3 2
0 0 -1

Et est-ce que vous pourriez me donner un coup de pouce parceque je vois pas comment je peux retomber sur I3 svp?

[sylvainc2]

J'ai oublié de mentionner qu'il faut s'assurer que le pivot est 1 avant de le traiter.

Moi je fais comme ceci. Je place P à gauche et I à droite séparés par une barre verticale:

1 3 1 | 1 0 0
0 2 1 | 0 1 0
1 0 -1 | 0 0 1

Le 1er pivot est 1 donc pas besoin de division. On fait:
L3 = L3 - L1

1 3 1 | 1 0 0
0 2 1 | 0 1 0
0 -3 -2 | -1 0 1

Le 2e pivot est 2, on divise donc la ligne 2 par 2:

1 3 1 | 1 0 0
0 1 1/2 | 0 1/2 0
0 -3 -2 | -1 0 1

Ensuite on fait:
L1 = L1 - 3L2
L3 = L3 + 3L2

1 0 -1/2 | 1 -3/2 0
0 1 1/2 | 0 1/2 0
0 0 -1/2 | -1 3/2 1

Finalement, le 3e pivot est -1/2, on divise la ligne 3 par -1/2:

1 0 -1/2 | 1 -3/2 0
0 1 1/2 | 0 1/2 0
0 0 1 | 2 -3 -2

et on fait:
L1 = L1 + 1/2 L3
L2 = L2 - 1/2 L3

1 0 0 | 2 -3 -1
0 1 0 | -1 2 1
0 0 1 | 2 -3 -2

La partie à gauche est bien I, et à droite c'est P^-1.

[invitec94283aa]

On peut aussi la résoudre comme ça :

1 3 1
P= ( 0 2 1 )
1 0 -1

On pose le système suivant :

1 3 1 x x'
( 0 2 1 )( y )= ( y' )
1 0 -1 z z'

soit x + 3y +z = x'
<=> { 2y + z = y' <=> ...
x - z = z'

Mais je ne comprends pas, je ne trouve pas de résultat, je tourne en rond alors que normalement cette technique est efficace

[brady32]

J'ai oublié de mentionner qu'il faut s'assurer que le pivot est 1 avant de le traiter.

Moi je fais comme ceci. Je place P à gauche et I à droite séparés par une barre verticale:

1 3 1 | 1 0 0
0 2 1 | 0 1 0
1 0 -1 | 0 0 1

Le 1er pivot est 1 donc pas besoin de division. On fait:
L3 = L3 - L1

1 3 1 | 1 0 0
0 2 1 | 0 1 0
0 -3 -2 | -1 0 1

Le 2e pivot est 2, on divise donc la ligne 2 par 2:

1 3 1 | 1 0 0
0 1 1/2 | 0 1/2 0
0 -3 -2 | -1 0 1

Ensuite on fait:
L1 = L1 - 3L2
L3 = L3 + 3L2

1 0 -1/2 | 1 -3/2 0
0 1 1/2 | 0 1/2 0
0 0 -1/2 | -1 3/2 1

Finalement, le 3e pivot est -1/2, on divise la ligne 3 par -1/2:

1 0 -1/2 | 1 -3/2 0
0 1 1/2 | 0 1/2 0
0 0 1 | 2 -3 -2

et on fait:
L1 = L1 + 1/2 L3
L2 = L2 - 1/2 L3

1 0 0 | 2 -3 -1
0 1 0 | -1 2 1
0 0 1 | 2 -3 -2

La partie à gauche est bien I, et à droite c'est P^-1.

Oui j'ai fait presque pareil je trouve le même résultat merci beaucoup ça ma bien débloqué pour la suite du DM.