Trouver une matrice inversible

[invited0b2ef3b]

Bonjour à tous!

Voilà, je bloque à un exo.. :

J'ai démontré auparavant que la matrice A=(11,-4,-8 ; 8,-1,-8 ; 8,-4,-5) est diagonalisable et j'ai ses valeurs propres.

Maintenant je doit trouver G une matrice inversible telle que A=GBG^-1

avec B=(c,0,0 ; 0,d,1 ; 0,0,d)

où {c,d} un couple de R² qui doit être précisé

J'ai remarqué que B est triangulaire supérieure et donc A est trigonalisable car elle est semblable à une matrice triangulaire (d'après A=GBG^-1). Ceci est logique car A est diagonalisable et donc elle est automatiquement trigonalisable. Cependant, tout ce que je sais sur les matrices trigonalisable c'est que leur polynôme caractéristique est scindé. (J'ai l'impression de tourner en rond.. )

Faut-il utiliser le fait que A soit diagonalisable et utiliser ses valeurs propres?

Quelqu'un peut m'aider s'il vous plait?

Merci d'avance!
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[invite57a1e779]

Remarque : si A est diagonalisable, elle ne peut pas être semblable à B qui n'est pas diagonalisable.

[invite986312212]

oui pour déterminer b et c il faut utiliser le fait que A et B ont mêmes valeurs propres (3,3,-1).

[invite173dee73]

Tu peux aussi utiliser l'invariance ( / bases) du determinant et de la trace :
1) A=GBG-1 => Tr(A) = Tr(GBG-1) = Tr(B)

2) A=GBG-1 => Det(A) = Det(GBG-1) = Det(B)

3) connaissant (c,d) resoudre ensuite A=GBG-1 => AG = GB (avec G pour inconnu)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Tu peux aussi utiliser l'invariance ( / bases) du determinant et de la trace :
1) A=GBG-1 => Tr(A) = Tr(GBG-1) = Tr(B)

2) A=GBG-1 => Det(A) = Det(GBG-1) = Det(B)

3) connaissant (c,d) resoudre ensuite A=GBG-1 => AG = GB (avec G pour inconnu)

Cela paraît lourd, on a un changement de base avec la matrice de passage . Si on l'interprète correctement, on voit vite que les colonnes de sont telles que :
– est vecteur propre pour la valeur propre simple ;
– est vecteur propre pour la valeur propre double ;
– .