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Déterminer une matrice




  1. #1
    fagotg

    Déterminer une matrice

    Bonjour, si on dispose de vecteurs de données issus d’une transformation est il possible de déterminer la matrice responsable de cette transformation ?
    Exemple :
    M matrice et 2 listes de vecteurs X et Y, connus.
    Comment peut on déterminer M si,
    M.X=Y
    Merci d’avance de vos idées.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Resartus

    Re : Déterminer une matrice

    Bonjour,
    Il faut avoir deux vecteurs non colinéaires X1 et X2 dont on connait les images Y1 et Y2. On aura alors 4 équations pour 4 inconnues (le 4 éléments de la matrice)
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  4. #3
    Resartus

    Re : Déterminer une matrice

    Rebonjour,
    J'avais peut être mal compris votre question...
    si on dispose de plus de deux vecteurs, et sachant qu'il y a des incertitudes sur les mesures des vecteurs de départ et d'arrivée, la matrice optimale va dépendre du type d'erreur sur ces mesures (absolues ou relatives, différentes entre les deux coordonnées...)
    Les logiciels mathématiques savent faire ces calculs, à condition de bien leur préciser le type d'optimisation demandé
    Sur excel (à moins de disposer d'un package ad hoc), il faudra ruser un peu pour se ramener à un fit moindres carrés
    Dernière modification par Resartus ; 29/01/2019 à 18h10.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast


  5. #4
    fagotg

    Re : Déterminer une matrice

    Si on essaye de déterminer cette matrice avec R, quel package serait le plus efficace ?

  6. #5
    minushabens

    Re : Déterminer une matrice

    c'est un modèle linéaire en fait. Il faut juste déplier la matrice M de façon à l'écrire sous la forme classique. Et donc tu peux utiliser la fonction lm de R.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    leon1789

    Re : Déterminer une matrice

    bonjour
    Citation Envoyé par fagotg Voir le message
    Comment peut on déterminer M si M.X=Y
    on multiplie à droite par la transposée tX de X :
    M. X . tX =Y . tX
    puis, on résoudre le système linéaire d'inconnue M (en général , X . tX est inversible...) et si ça veut bien, on obtient :
    M = Y . tX . (X . tX)^(-1)

  9. #7
    fagotg

    Re : Déterminer une matrice

    Bonjour,
    Merci bien pour les réponses, mais comment faire pour inverser (x.tx) ?
    Si je prends un vecteur alpha et sa transposée bêta, en dimension 2,
    si je calcul le déterminant j’obtiend 0.
    Je ne peux donc inverser la matrice. Du coup comment faire ?

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  11. #8
    leon1789

    Re : Déterminer une matrice

    La méthode que j'ai exposée ne fonctionne que s'il y a un problème d'optimisation à résoudre, c'est-à-dire que le nombre de vecteurs de X est au moins égal à la dimension dans laquelle on travaille. Dans ce cas, X.tX est très souvent inversible.
    Vous parliez de listes de vecteurs pour X et Y, j'ai compris qu'il y avait de nombreux vecteurs dans vos listes, pas un seul.
    Dans votre exemple où il y a un seul vecteur X (non nul), la réponse est d'une autre nature, beaucoup plus simple (et il y a même une infinité de solutions) : vous voulez trouver M telle que M.X = Y alors prenez M = Y.tX / (tX.X) où tX est la transposée de X et tX.X le carré de la norme de X. Vous avez alors M.X = Y.tX.X / (tX.X) = Y exactement.
    Dernière modification par leon1789 ; 05/02/2019 à 06h47.

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