Equation différentielle filliation à deux corps

[Maxlamenace34]

Bonjour à tous,

Voilà un moment déjà que je cherche, sans trouver une réponse claire. Et avec des éléments de réponse par ci, par là, j'arrive à trouver un raisonnement, mais.... Il manque un truc.

Je cherche à résoudre l'équation différentielle d'une filiation radioactive à 2 corps. Je pars donc de la différentielle suivante :


Et je suis censé trouver comme solution :


Je commence par résoudre l'équation homogène :


Déjà là j'ai un premier problème. Dans les hypothèses de départ est nul, alors pourquoi le terme ne serait pas nul ?

Ensuite comme idée j'avais ça :


Et donc :




Et là, c'est apothéose ! L'équation s'annule et donc impossible de résoudre le problème.

Puis-je savoir où est le problème avec mon raisonnement ? Pourquoi ne serait pas nul, et comment faire pour que l'équation ne finisse pas par s'annuler ?

J'espère avoir était claire dans ce problème et que vous saurez m'apporter une réponse.

Merci par avance
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[XK150]

Bonjour ,

Plutôt que de tenter d'entrer dans vos calculs , je vous propose ceci : http://physique.coursgratuits.net/ph...adioactive.php

[Maxlamenace34]

Bonjour XK150,

Merci pour ta réponse. J'avais déjà trouvé ce site, mais j'ai du mal avec leur raisonnement une fois qu'ils ont résolu l'équation homogène.

Ils trouvent une solution de l'équation homogène, mais au lieu de l'utiliser il font un semblant de changement de variable :

La démarche consiste à poser que

Qu'est-ce qui justifie ça ? Et pourquoi de on passe à ? C'est censé être une constante...

Ensuite ils injectent tout ça dans l'équation différentielle et posent . Pour commencer je suppose qu'ils parlent de . Ensuite pourquoi serait égal à ? D'accord, sinon c'est nul et donc "absurde". Mais c'est un peu léger comme raison. D'autant plus que dans l'équation homogène, avant la transformation , on a bien un .

Alors j'ai beaucoup de mal à comprendre tout ce qu'il y a derrière tout ça en fait.

Est-il possible d'avoir une explication ?

[gts2]

Bonjour,

Quand vous résolvez l'équation homogène, vous n'avez pas la solution mais une partie de la solution, donc la constante d'intégration n'a aucune raison d'être égal à N₂(0).

Ensuite quand vous injectez la solution d'une équation dans une équation, il est quand même logique que cette équation soit vérifiée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Ils trouvent une solution de l'équation homogène, mais au lieu de l'utiliser il font un semblant de changement de variable :
Qu'est-ce qui justifie ça ? Et pourquoi de on passe à ? C'est censé être une constante...
Ensuite ils injectent tout ça dans l'équation différentielle et posent . Pour commencer je suppose qu'ils parlent de . Ensuite pourquoi serait égal à ?

Ils vont l'utiliser la solution de l'équation homogène à la fin : solution générale = sol. homogène + sol. particulière. Pour le moment on cherche une sol. particulière.

Là ils se compliquent un peu la vie : on sait que la dérivée d'une exponentielle est elle-même. Comme on cherche UNE solution particulière, en prenant comme solution test une exponentielle de même exposant que le second membre, on sait que les exponentielles vont se simplifier.

[Maxlamenace34]

Ah oui ! D'accord ! C'est beaucoup plus clair ! Merci beaucoup à vous deux !