Bonjour,
J'ai un petit problème:
Soit p = (1+racine(5))/2 le nombre d'or.
On pose x = a + b.p où a et b sont des entiers relatifs.
A partir de 1<= x < racine(5) ET b >= 1 , je dois montrer que b.racine(5) > 2x - 1
Ce doit être très élémentaire, mais je bloque !
Merci d'avance.
PM
Bonjour,
tu peux commencer par :
b >= 1
donc b.rac(5) >= rac(5)
donc b.rac(5) + 1 >= rac(5) + 1
je te laisse terminer
Dernière modification par jacknicklaus ; 18/02/2022 à 16h56.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Merci,
Mais pouvez-vous allez un peu plus loin ? Je bloque toujours...
PM
Prenons b=1 et a=2.
qui n'est pas plus petit que
Donc ton énoncé est faux.
Cordialement
Bonsoir gg0,
Tout d’abord attention ton exemple vaut pour a=1 et b=2 et pas le contraire...x=a+bp..mais ce n'est pas là le plus important.
Ton contre-exemple ne marche pas: x n'est pas inférieur strictement à racine(5) !
Ce résultat extrait d'une publication est JUSTE (comité de lecture) mais je ne comprends tjrs pas pourquoi !
A L'AIDE !
PM
Dernière modification par passion math ; 18/02/2022 à 19h40.
Ah, oui, j'ai laissé une condition en route. mais c'est justement cette condition qui fait marcher le problème ... à condition de prendre b positif. Car si b est strictement négatif, comme 2x-1>1 et b rac(5)<0 l'inégalité demandée n'est pas possible. De façon plus générale, en changeant simultanément les signes de a et b, on change les signes des deux membres de ton inégalité, elle devrait s'inverser.
As-tu bien repris ce qui est dit dans la publication ??
Cordialement.
Ça coince aussi pour x=2 (a=2,b=0). Il faut sans doute b strictement positif (et donc a négatif).
Attention, l’inégalité est effectivement inversée mais lorsque b passe de part et d'autre de 1 et pas de 0 ...
La publi dit:
si b >= 1 alors b.racine(5) > 2x - 1
si b < 1 alors b.racine(5) < 2x - 1
Mais je ne vois pas pourquoi !
Des idées ?
PM
Effectivement,
je n'arrive pas à tenir compte de toutes les hypothèses
Si j'ai un peu de temps, je regarderai à nouveau de près. Mais déjà, si b>= 1, a doit être négatif.
Cordialement.
Bon, je reprends.
Il y a un petit problème pourqui est bien entre
Donc l'inégalité stricte n'est pas vérifiée.
C'est le seul cas avec b=1, le seul où a est positif (ici nul), je te laisse vérifier que pour b>1, on a a<0. Mais je ne m'en servirai pas.
Donc dans la suite,
or b est positif,
Ensuite
D'où l'inégalité voulue.
Oui, il y a effectivement un problème pour b=1 et a=0, bizarre qu'ils en aient pas parlé dans la publi.
ATTENTION, ton calcul est faux...on a pas -2a >= 2bp - racine(5) mais bien -2a >= 2bp - 2*racine(5).
Je n'ai toujours pas la réponse !
PM
Dernière modification par passion math ; 22/02/2022 à 09h55.
Effectivement, j'ai fait une erreur facile à rectifier. Et toi, que fais-tu ? Tu attends qu'on calcule à ta place ?
Car la minoration
suffit à traiter ton problème (sans les deux lignes suivante); en utilisant bien
Cordialement.
Voilà que je me fais engueuler maintenant ! C'est un comble !
OK, j'ai mené les calculs, ça marche pour b >= 2.
MAIS je n'ai toujours pas compris le résultat de la publi pour b >= 1 ... et c'est le seul point incompris de toute la publi.
Pour info,voici le papier...
PM
Effectivement, je l'avais un peu mauvaise ... j'ai proposé, tu n'as fait que noter les erreurs sans aller plus loin. Sans essayer de reprendre ce que je proposais. sans rien proposer. J'aurais pu laisser tomber.
Bonne continuation !
Bonsoir,
J'ai laissé "dormir" le problème dans mon esprit et puis finalement ça y est j'ai bien compris la publi intégralement.
Donc pour b >= 2 , effectivement, l’inégalité stricte se démontre facilement : b.racine(5) > 2x - 1
Il suffit donc de considérer désormais b = 1 , alors on a automatiquement a = 0 (parce que 1 <= x < racine(5) ) et on n'a plus l'inégalité stricte mais bien une égalité comme vous l'avez mentionné.
Je pense que le chercheur a négligé ce cas car le but de la publi et de montrer que les éléments de Z[p] (et donc, en particulier les naturels) ont un développement phinaire fini.
C'est évident pour p !
pour b < 1 alors b.racine(5) < 2x - 1 trivialement car encore 1 <= x < racine(5).
Merci pour votre aide.
Bonne soirée.
PM
