transformation d'une perspective en vue de face dans geogebra

[zyket]

Bonjour,

botaniste amateur, je m'intéresse à la dynamique de population d'une petite plante (la cymbalaire des murailles C. muralis) qui pousse couramment sur les murs.

Pour ce faire j'ai pris en photo depuis plusieurs années un long mur sur lequel une population de cymbalaires est installée. Les prises de vues sont toutes prises d'un même point unique sur lequel est installé mon trépied photo. Pour obtenir des clichés avec une bonne résolution, j'utilise un téléobjectif de 100mm sur un Pentax Kx. Pour photographier tout le mur je fais donc pivoter mon boitier suivant un axe vertical. Pour chaque série de photos du mur, je me retrouve donc avec une photo de face et 6 ou 8 clichés où le mur apparait de biais avec le mur qui part en perspective.
J'insère ensuite ces clichés dans un plan de geogebra, et je crée un point pour chaque pied de cymbalaire visible sur la photo.
Comme à partir de ces clichés je voudrais faire des relevés de distance entre les différents pieds de cymbalaires, j'ai besoin de "redresser" les photos de biais.

Et c'est là que j'ai besoin de mathématiciens.
En réfléchissant au problème d'un point de vue géométrique (cf le schéma geogebra en lien ici https://www.geogebra.org/m/tmcygync), j'en suis arrivé à la conclusion qu'il faudrait que je trouve une "transformation" (je ne connais pas le terme mathématique exact) :
- qui donne aux droites sécantes de la perspective du mur (en noir) comme images des droites parallèles (en rouge)(exemple : f' est l'image de la droite f par cette "transformation", g' image de la droite g, l'axe des abscisses est sa propre image).
- qui donne aux droites verticales comme image des droites verticales
- qui rejette à l'infini le point de fuite F.

Quelqu'un peut-il m'aider à trouver la formule mathématique répondant à ces critères ?

D'avance merci

Pierre
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[f6exb]

Bonjour,
Une rotation autour de A d'un angle atan(OA/OF) ramèrera la sécante // axe des x. De façon similaire pour la deuxième sécante une rotation autour de B de Atan(OF/OB).
Mais cela ne jouera pas sur les distances, qui seront de plus en plus compressées à mesure qu'on se rapproche de l'ex point de fuite.

[zyket]

Merci de cette réponse rapide et de l'intérêt porté à la question.
En effet le problème des distances compressées reste entier avec une rotation.
Une idée me vient à l'esprit :
L'abscisse x' de l'image d'un point M (x,y) ne serait-il pas du genre
x'=x.x{F}/(x{F} - x)
avec x{F} l'abscisse du point F
?
De plus l'ordonnée y' de l'image d'un point M(x,y) serait l'ordonnée du point d'intersection I(0,y') entre la droite (FM) et l'axe des ordonnées ?
Suis je sur la bonne voie ?

Cordialement

[GBZM]

Bonjour,

C'est un sujet qui reparaît de temps en temps sur les forums.
Tu pourras le voir par exemple ici :
https://les-mathematiques.net/vanill...omment/751890/
ou encore là :
https://www.maths-forum.com/cafe-mat...e-t208965.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[zyket]

Merci beaucoup,
c'est exactement cela
Je vais me pencher sur ces explications et espère être au niveau pour en tirer tout le profit nécessaire.

Cordialement

[GBZM]

N'hésite pas à demander.

Tu as une appliquette GeoGebra disponible ici : https://www.geogebra.org/m/eas3bsun

[zyket]

Bonjour à tous et en particulier à GBZM dont les liens m'ont été bien utiles.

Je pense avoir résolu mon problème de redressement d'un mur en perspective grâce au logiciel GIMP qui comporte justement une fonction de redressement de perspectives. Il reste surement le problème des correspondances des distances entre la vue en perspective et celle redressée. Je pense le résoudre en plaçant un carré étalon sur le mur à chaque prise de vue.

Toutefois par curiosité mathématique :

Après lecture et réflexion sur l'article https://les-mathematiques.net/vanill...omment/751890/
j'en déduit que :
Le trapèze AB'C'D étant donné comme la représentation en perspective d'un carré, on trouve le pôle O, de l'homologie f qui transforme B en B', en construisant un carré ABCD à partir de la base AD.
O , le pôle de l'homologie, est l'intersection des droites (BB') et (CC') .

Fort de ces constatations, j'ai construit une petite construction geogebra (https://www.geogebra.org/classic/mwn6jhrq) d'homologies d'axe (AD) et de pôle O, dont l'image d'une droite parallèle à l'axe des abscisses est une droite passant par F , dans laquelle le point de fuite F et le point B sur la droite (AF) peuvent être déplacés.

Par ces homologies l'image du carré rouge ABCD est le trapèze vert AB'C'D.
(Je n'ai pas encore vérifié si les birapports (O,b,B',B) et (O,c,C'C) étaient égaux.)

En déplaçant F ou B on constate :
⦁ que la droite (OF) semble toujours parallèle à l'axe des abscisses.
⦁ qu'il existe une infinité d'homologies si F est fixé : en déplaçant B sur la droite (AF), le centre O de l'homologie se déplace sur la droite passant par F parallèle à l'axe des abscisses.
⦁ que par conséquent je suis bien embêté si je n'ai pas photographié de carré étalon sur mon mur. En effet la photo représente un mur en perspective : je peux facilement trouver le point de fuite F en prolongeant des droites horizontales, mais je ne peux pas savoir quel est le trapèze de la vue de mon mur en perspective correspondant à un carré. On a vu qu'il existe une infinité d'homologies si F est fixé.

En supposant que mes réflexions ci-dessus ne soient pas à côté de la plaque,

ma question est donc, avant que j'aille calibrer mon appareil photo avec des clichés de carré étalon en perspective : existe-il une résolution mathématique à mon problème ?

A savoir :
Comment à partir d'une photo d'un mur en perspective (et peut-être des caractéristiques optiques de l'appareil) peut-on trouver le pôle O de l'homologie unique qui redresse le mur en une vue de face qui conserve les proportions verticales et horizontales sans passer par un objet étalon ?

A votre bon cœur.
Cordialement

[GBZM]

Bonjour,

Première chose, il faut supposer que ton appareil photo fonctionne comme une chambre noire. Si tu as des déformations optiques du genre "fisheye" où les droites deviennent courbes, ça ne va plus.

Ceci dit, tu ne t'en tireras pas sans objet étalon. Tu peux aussi de façon équivalente connaître des distances entre points repères sur ton mur

[zyket]

Merci GBZM,

je viens de finir une séries de clichés avec un carré étalon. Je vais voir ce que je peux en tirer.

Encore merci

Cordialement

[GBZM]

J'ai complété ton appliquette GeoGebra avec la construction de l'image M d'un point courant M' dans le redressement de perspective.

https://www.geogebra.org/m/kgm3brx8

[zyket]

Merci
il est à noté que j'avais fais une erreur dans mon apliquette.
J'avais pris b le point d'intersection entre (BB') et la droite horizontale d, alors que b est l'intersection de (BB') avec l'axe (AD). Idem pour c.
Si on veut vérifier les birapports il faut corriger cette erreur.

Cordialement

[zyket]

Bonjour,
j'ai finalisé mon appliquette geogebra https://www.geogebra.org/m/mwn6jhrq en ouvrant un tableur qui affiche les birapports (dans la colonne "valeurs" grâce à la fonction Birapport de 4 points alignés de geogebra) et calcul les birapports.

Il est à remarquer que geogebra retourne des birapports pas toujours identiques entre eux ?

Cordialement

[GBZM]

Bonjour,

Tout simplement, ton carré ABCD n'est visiblement pas carré. Ça fausse complètement les choses.

[GBZM]

J'ai refait une appliquette où on peut voir les birapports. Et on peut voir ici :
https://www.geogebra.org/m/vcecurw2
que quand tout est fait correctement, les birapports sont bien identiques

PS. Il y a dans GeoGebra une fonction "Birapport".

[zyket]

Merci beaucoup GBZM,
en effet j'ai découvert la fonction Birapport de GeoGebra par inadvertence. Elle est bien pratique dans les cas qui nous occupent.
J'avais pourtant cru créer le carré avec la fonction polygones réguliers.
Je retourne peaufiner mon appliquette.

Cordialement

[zyket]

En effet j'avais construit ma figure comme un sagouin. (et pas du tout en utilisant l'outil polygone régulier pour le carré comme je le croyais)

Voici ma figure https://www.geogebra.org/classic/mwn6jhrq avec le tableur ouvert qui affiche les birapports donnés par geogebra et ceux calculés par mes soins.

Quand la figure est faite correctement les birapports sont bien identiques

Je constate que mon calcul du birapport avec les distances est en parti faux. Il ne retourne que la valeur absolue du birapport qui se calcule à partir des mesures algébriques comme qui sont des nombres positifs ou négatifs, d'où un birapport pouvant être négatif suivant les configurations.

Encore merci de l'intérêt porté à mes tâtonnements.