Trouver Un, l'unique racine réelle d'une fonction polynomiale

[inviteb0757af4]

Bonjour, j'ai ce DM à faire en classe prépa ECS, et j'ai du mal à trouver l'expression de Un. Voici le sujet:

On définit la fonction polynomiale réelle f_n: x —> nx^3 + n^2 x -2

a) Montrer que pour n≥1, f_n possède une unique racine réelle, que l'on notera Un
b) Montrer que (Un) est décroissante.
c)Montrer que (Un) converge et déterminer sa limite
d)Monter que Un est équivalent en +infini à 2/ n^2

Pour la première question j'ai dérivé puis utilisé le théorème de la bijection pour montrer l'existence et l'unicité, mais je n'arrive pas à comprendre comment obtenir l'expression Un pour faire Un+1 - Un dans la b).
Merci par avance de votre aide !
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[gg0]

Bonjour.

Si tu ne l'as pas fait, complète ta première question par le tableau de variations de f_n, puis calcule f_n+1(u_n).

Cordialement.

[inviteb0757af4]

Merci de votre réponse, j'ai fait le tableau, j'ai trouvé que tout était positif (car n≥1 et x est au carré) pour f'_n et donc que f_n était croissante.
Est-ce-que f_n+1 (Un) est censé être (n+1).Un^3 + (n+1)^2 .Un -2 ?

[jacknicklaus]

Est-ce-que f_n+1 (Un) est censé être (n+1).Un^3 + (n+1)^2 .Un -2 ?

pourquoi poser la question ?
As tu remplacé correctement n par n+1, dans la définition de f_n?
Si c'est oui, alors c'est bon.. continue...

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

je n'arrive pas à comprendre comment obtenir l'expression Un pour faire Un+1 - Un dans la b).

pour tout n et tout x>0 on a f_n(x)>f_{n-1}(x) et f_n(0)=f_{n-1}(0)=-2. Puisque f_n(x) est strictement supérieur à f_{n-1}(x) la courbe (x,f_n(x)) rencontre l'axe y=0 avant (i.e. pour une valeur strictement inférieure de x) la courbe (x,f_{n-1}(x)).