Dérivée de ln ∘ ln ∘ ⋯ ∘ ln

[Tekso]

Bonjour,
Je suis en classe préparatoire et je vous demande votre aide sur un exercice sur les dérivées successives : Dérivée de
ln ∘ ln∘ ⋯∘ln (n compositions avec n ∈ℕ).
J’ai essayé de dérivée plusieurs fois:
(Ln(x))’ = 1/x
(Ln(ln(x)))’ = 1/x*ln(x)
(Ln(ln(ln(x))))’ = 1/x*ln(x)*ln(ln(x))
(Ln(ln(ln(ln(x)))))’ = 1/x*ln(x)*ln(ln(x))*ln(ln(ln(x)) )

On vois bien que 1/x est toujours présent et que à chaque dérivée il y’a un ln(x) qui se rajoute (1/x * 1/ln(x) * 1/ln(ln(x)) * …).

(Il faut sûrement aussi utiliser de la récurrence quelque part mais aucune idée de comment et ou)
Merci de votre aide
-----

[Merlin95]

Soit y(x)=ln(ln(ln(ln(...))))(x)
Alors y(x)=ln(y(x)) pour tout x

Qui n'a pas de solutions. Autrement dit y n'existe pas.

Mais c'est peut-être pas rigoureux, faut voir en trouvant les théorèmes du cours qui sont éventuellement nécessaires.

[Merlin95]

Je crois que j'ai répondu à coté.



(n) c'est pour la composition n fois.

[Tekso]

J’ai regarder mais je ne crois pas qu’il faut faire comme ça, d’après mon prof, il faut trouver un terme général à la dérivée de ln rond … rond ln
J’avais une petite idée mais j’ai l’impression que ça ne marche pas:
n
Produit 1/(ln(x)^k)
k=0

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

(Ln(x))’ = 1/x
(Ln(ln(x)))’ = 1/x*ln(x)
(Ln(ln(ln(x))))’ = 1/x*ln(x)*ln(ln(x))
(Ln(ln(ln(ln(x)))))’ = 1/x*ln(x)*ln(ln(x))*ln(ln(ln(x)) )

On dirait qu'il manque des parenthèses, mais ça a l'air bon (cf https://www.wolframalpha.com/input?i...8x%29%29%29%29 pour vérification)
A votre place j'essayerai la formule de Merlin95 dans une récurrence.

[jacknicklaus]

Bonjour


avec une notation comme

on prouve, par récurrence :

[GBZM]

Ne trouvez-vous pas que Tekso se fiche du monde ? https://www.maths-forum.com/superieu...e-t255529.html

[albanxiii]

Ne trouvez-vous pas que Tekso se fiche du monde ? https://www.maths-forum.com/superieu...e-t255529.html

C'est pas de sa faute, il vous l'a dit :

J’ai essayé de réfléchir avec votre aide, mais je n’arrive pas à avoir l’idée

Traduire : vous êtes méchants, vous ne voulez pas faire le travail à ma place !
Et ça colle avec les horaires des messages.

[Tekso]

Non, j’ai juste essayé de voir avec d’autre personne parce que j’ai essayé avec votre idée et mon professeur n’était pas d’accord avec ceci (bien sûr j’ai travaille dessus toute la soirée) donc dire que j’ai rien fait c’est pas cool, surtout que j’ai kholle de svt et je n’ai absolument pas réviser pour faire l’exercice.
Mais merci quand même pour l’aide, je vais donc essayer de le reprendre du début et de le faire.