Statistiques : probabilisé de marcher sur un nid

[Inimion]

Bonjour à tous,

Pour avoir un ordre de grandeur du risque encouru, peut-on savoir a quel point il est probable qu'une personne écrase un nid d'oiseau posé sur le sol d'une prairie.

Données du problème :
- Prairie de 12000m² (50mx240m).
- 10 nids de 10cm de diamètre placés aléatoirement sur la prairie.
- Un humain marche sur cette prairie de façon aléatoire (si cela simplifie, l'on peut considérer qu'il marche en ligne droite et rebondi en lisière de prairie).
- La surface d'un des pieds de l'humain est d'environ 200cm² (25cmx8cm, ou autre si plus simple), et sa longueur de foulée moyenne est de 60cm.

Dans l'idéale j'aimerai avoir un ordre de grandeur du nombre de mètres (ou km) que l'humain pourrait parcourir, en moyenne, avant de marcher sur un nid.

Pensez-vous qu'il est possible d'avoir un ordre de grandeur par le calcul ?

Merci par avance à ceux qui pourront m'aider, et à ceux qui en avait l'intention...
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[gg0]

Bonjour.

S'il marche de façon aléatoire (pas tout droit, même avec rebond) suffisamment longtemps, il passera près de tous les nids une infinité de fois et aura marché sur tous les nids. C'est un grand classique des probas. Donc la proba est 1. Pour la distance parcourue avant le premier nid, elle dépend de la marche ("aléatoirement" ne définit pas une façon de se déplacer).
S'il ne marche pas de façon aléatoire (direction du pas suivant, longueur de pas, ...) tout dépend des conditions.

Cordialement.

NB : Si ce n'est pas un problème théorique, il va falloir en donner les éléments concrets.

[Inimion]

Bonsoir gg0,

Ce n'est pas un problème théorique mais concret. Cette prairie, de taille décrite dans l'énoncé, peut accueillir chaque année, au maximum, environ, une dizaine de nids d'oiseaux.

La question est : si on y fait marcher un promeneur qui divague, sans but, pendant combien de temps il pourra marcher sans rien écraser ?

Je ne vois pas ce que je peux apporter de plus que ce qui est dans l'énoncé. Que manque-t-il ?

[Biname]

Salut,

Et si le pied n'écrase qu'un quart de nid - voire moins - on dit que le nid est écrasé ou pas ?

Si tu décomposes ton champ en N nids hexagonaux(1) et que tu considères qu'un pied ne peut se poser que pile au centre d'un de ces hexagones, tu peux calculer la probabilité de mettre le pied sur un nid à chaque pas que tu fais.

Prairie 120 000 000 de cm² (12000m² * 10000cm²/m²)
Surface d'un nid hexagonal = Pi * 5² = 78.5cm²
Il y a, selon nos hypothèses, 120e6/78.2 = 1 527 000 endroits précis où poser le pied dans ce champ dont 10 sont occupés par un nid

Selon nos hypothèses, à chaque pas, on a une chance sur 152 700 de mettre le pied pile au centre d'un nid.

Pour de nombreux pas, ça se complique, il ne suffit pas de multiplier par le nombre de pas.
- il faut une ?quasi? infinité de pas pour que le pied se pose sur toutes les cases
- un 'sur place' infini sur deux cases vides n'est pas exclu, ni une boucle infinie, ...

Ca sent la distribution normale, je ne me lance pas ! Tu ne pourras jamais affirmer qu'après N pas un nid sera écrasé.

Ton pied de 200cm² écrase ~trois cases en un pas, la probabilité est divisée par 3 : 152700/3 ou une chance sur 50900


Il me semble ???????????? que dans ce genre de cas, on obtient, qu'en 50900 pas dans le champ(30 km), on a - ici au pire - une chance sur deux d'écraser un nid ?????????????

Sauf erreurSSSS ...

Biname

(1) pour faire simple et conserver un peu la notion de nid . On peut aussi prendre des carrés, mais faut changer la bestiole, un maçon et des bombes par exemple .

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bizarre "problème concret" !

Concrètement, un promeneur ne divague pas. Et il ne va pas marcher au hasard.
Si on veut éviter que quelqu'un marche sur un nid, on interdit les promeneurs, c'est tout !

Cette question ressemble à de nombreuses autres où on demande une réponse mathématique à un problème pas mathématisé. Comme si les maths étaient magiques, permettaient de "démontrer" sans avoir de données précises. Alors que c'est le contraire que font les maths.

Donc Inimion, mathématise un peu ton problème en ne te contentant pas de deux chiffres pour caractériser la situation. Ou fais un calcul grossier pour avoir "un ordre de grandeur". Tu peux le faire tout seul, tu connais la situation. Nous on ne l'a pas, donc on ne peut pas le faire sérieusement.

Cordialement.

[Inimion]

Bonjour,

"Bizarre "problème concret" !".
gg0, je n'ai fait que reprendre votre mot et ajouté concret par opposition à théorique. Pour dire que ma question n'était pas liée aux "mathématiques pures" mais à une situation sur laquelle je m'interroge.

Vous demandez pour la deuxième fois des "précisions" sans dire ce que vous attendez.

Pour ce qui est du promeneur, imaginez que je vous dépose au milieu de cette prairie sans aucun autre but que de passer le temps. Vous vous déplaceriez alors, regardant ici une fleure, là un insecte, vous suivriez peut-être un papillon quelque temps. Cela s'appelle divaguer, je n'ai pas d'autre mot.

Pour le reste, que dire de plus ?


Biname, merci d'essayer d'apporter des éléments.

Si l'on voulait coller au plus proche de la réalité, l'on considérerait que de marcher sur un quart du nid est "éliminatoire". Mais il s'agit d'avoir un ordre de grandeur, il faut faire avec ce qui serait le plus "simple".

Il me semble que ton hypothèse implique que le promeneur peut faire un pas jusqu'à 245m (la diagonale de la prairie) ? Je ne vois pas l'idée de déplacement.

L'on peut considérer que le promeneur ne fait jamais de sur place, ni de marche arrière, et avance toujours d'un pas. L'idée de dire qu'il avance en ligne droite et "rebondi" en limite de prairie me semble le plus pratique mais je ne suis pas mathématicien.

Il ne s'agit pas d'affirmer quoi que ce soit mais simplement d'avoir un ordre de grandeur, une idée.

Ce qui m'intéresse, c'est vraiment la notion de distance parcourue.

[MissJenny]

je pense que tel quel le problème est trop difficile. ll faudrait un peu "idéaliser". La théorie qui me paraît le plus proche de ce problème est celle des processus poissoniens de lignes dans le plan. C'est-à-dire que le parcours de ton marcheur serait assimilé à une famille aléatoire de droites du plan. Dans ce cas on peut calculer la probabilité qu'une ligne passe à moins de telle distance d'un point du plan donné. Mais il n'y a pas de notion de "pas", c'est-à-dire qu'on ne pourrait pas faire la différence entre un nid enjambé et un nid écrasé. Et de plus il n'y a pas de notion de vitesse de parcours, on ne pourrait pas calculer précisément le temps ou la distance nécessaire pour écraser un nid.

si tu veux traiter complètement ton problème, je ne vois que la simulation.

[jiherve]

bonjour,
voir un spécialiste des champs de mines AP lui connait la réponse, il est payé pour çà!
JR

[Biname]

Salut,

Au mieux ou au pire, en trois pas on peut écraser les dix nids.

On démarre avec un pied de 200cm² sur trois nids de 78.5cm², trois autres au premier pas, trois autres au second pas et on achève le travail au troisième pas où on n'écrase le dernier nid.

Biname

[Gwinver]

Bonjour.

Un prairie est rarement une surface unie, plane à la végétation uniforme et basse, comme le serait un gazon.
Il faut s'intérresser aux critères de choix de l'oiseau pour établir son nid.

[Bounoume]

Selon nos hypothèses, à chaque pas, on a une chance sur 152 700 de mettre le pied pile au centre d'un nid.

Pour de nombreux pas, ça se complique, il ne suffit pas de multiplier par le nombre de pas.
- il faut une ?quasi? infinité de pas pour que le pied se pose sur toutes les cases
- un 'sur place' infini sur deux cases vides n'est pas exclu, ni une boucle infinie, ...

(1) pour faire simple et conserver un peu la notion de nid . On peut aussi prendre des carrés, mais faut changer la bestiole, un maçon et des bombes par exemple .

bonjour,
ça pourrait être déplacé dans 'science ludique'.... ce poblème est autant rigolo que .... très sérieux....
côté sérieux.... pas possible de répondre sans consrtruire un modèle simple .....
d' abord quelle réponse est possible: seulement une réponse probabiliste comme ci-dessus...... mais pour un parcours +/- long.....
le mieux: la probabilité d' écraser AU MOINS un nid.... au bout d' un certain nombre de pas, d' un parcours quelconque......
Si on rajoutait l' hypothèse que le marcheur ne repasse jamais au même endroit..... bêtement, on serait sûr qu' à la fin il ne resterait que les 10 emplacements des nids, et alors on serait sûr qu' il les écrase.... Eliminons donc cette contrainte....

Ainsi le parcours exact est totalement indifférent..... seule compte la distance parcourue....

pour la forme des cases.... le + simple, même si ce n' est pas réaliste, c' est la case carrée de 10 cm de côté... et notre piéton divaguant qui pose chaque pied sur un rectangle de 20 * 10 cm, et juste sur 2 carrés contigus, bien sûr....

la probabilité qu' un pose de pied écrase un nid, ou plutôt qu' UN nid particulier soit écrasé par un pas du marcheur, sera, très simplement
surface de 1 nid, en m2 = 0,10 * 0,10 = 0,01 m2
nombre d' emplacements cible N=12000/(0,010)=1200000 pour le marcheur
Si il y a un seul nid.....

si on considère 2 nids voisins, proba qu' un au moins soit écrasé:
p= 2 * (1/1200000) = 0,000001667 (le pied écrase 2 emplacements.....)

mais en fait il y a 10 nids, et on suppose qu' ils ne sont ni confondus sur le même endroit, ni très proches.......,
alors on peut faire 10 tirages d' écrasement, un pour chaque nid.... sans interaction entre les résultats des tirages:
pour chaque tirage c' est la même probabilité
p= 2 * (1/1200000) = 0,000001667 (le pied écrase 2 emplacements.....)
et alors la proba qu' un au moins de 10 nids soit écrasés par un pas du marcheur: c' est celle d' en écraser un, multipliée par 10
p=p= 2 *10 * (1/1200000) = 0,00001667

ordre de grandeur peu différent de Biname (simplement le triple...) avec les hexagones : 1/152 700 ....... 0,000006549

Après, pour connaître la probabilité d' écraser au moins 1 nid..... lors d' un tirage
écraser un quelconque nid = événements indépendants, mais le nombre d' emplacements testés décroît.....

p totale P= p(nid n° 1)+p(nid n° 2)+p(nid n°3)=)+p(nid n°3) .......
p totale P= p(nid n° 1)+[p de trouver un emplacement non écrasé différent de nid 1] *+ p [p de trouver un emplacement non écrasé différent de nid 1 et 2].....
P=p+(1-p) * p + (1-p)*(1-(1-p)*p) * p +(1-(1-(1-p)*p) * p+......

ceci.... je n' en suis pas sûr du tout.....
Au secours, j' ai la mémoire qui flanche..... qui peut corriger?

[jiherve]

bonsoir,
en temps que randonneur émérite en général on regarde où l'on met les pieds car cela évite chute, cailloux,racines et crottes diverses, donc amha ne choisir que de bons randonneurs et le problème est résolu.
JR

[stefjm]

et les aveugles?

[Bounoume]

pas de grossièretés SVP, restons polis: dans notre monde bien policé, on ne dit plus 'aveugles', maintenant il faut dire 'non-voyants' .......
Et puis notre problème, il n' est pas pour les randonneurs émérites, il concerne les randonneurs hédonistes qui ont un peu abusé de la Dive Bouteille, et qui n' avancent pas bien droit...... dans le brouillard et les Vignes du Seigneur.............
Bonne nuit les petits! A demain peut-être.....

[Biname]

Salut,

Bounoume ! Pour notre simplification, un code de ?20 lignes m'a montré que la probabilité d'écraser un nid est le rapport entre le nombre de cases/carrés 'piétinés' et le nombre total de cases/carrés existants ... ___par nid___. Suis-je clair ?

Exemple : si tu as une surface composée de 50000 carrés parmi lesquels un seul carré contient un nid, lorsque tu auras 'piétiné' 25000 carrés différents, la probabilité d'avoir écrasé un nid sera de 0.5 ou 50% Le fait qu'il soit possible de remettre le pied sur une case déjà piétinée fait que le nombre de pas est plus grand que le nombre de cases piétinées ... on me suit toujours ?

Le code en ligne en VB : https://onlinegdb.com/yp6XdDM61

La probabilité d'écraser un nid en fonction du nombre de pas part de p(0) = 0, a pour asymptote horizontale p=100% et lorsque le nombre de pas est égal au nombre de case la probabilité d'avoir écrasé un nid et ses habitants est de ~63.2%

Biname

[gg0]

Bonjour Biname.

Ton résultat final montre que tu considères que chaque cas a la même probabilité d'être piétinée. Mais les pas d'un marcheur ne sont pas indépendants : Le pas suivant est proche, mais généralement pas contigu.
Ton estimation initiale me semble une bonne approche d'un problème trop imprécis pour avoir une réponse nette.

Cordialement.

[Biname]

Salut,
gg0, l'ordre dans lequel les cases sont piétinées est sans importance pour la probabilité d'écraser __le__ nid qui est égale au rapport surface piétinée et la surface totale !
Modérateur trolleur ?
Ce problème doit être connu et résolu ?
Biname

[gg0]

Désolé, Biname,

mais le problème est plus compliqué que cela. D'autant qu'il y a 10 nids.
Je n'irai pas plus loin, je ne connais pas ta modélisation de la question. Seulement des annonces de résultats.

De qui parles-tu quand tu dis "Modérateur trolleur ?" ? Je n'ai vu aucun modérateur intervenir ici.

Cordialement.

NB : Je combats fermement depuis des décennies l'idée que les maths ont des réponses à toutes les questions, "l'illusion mathématique" qui fait le fond de certains charlatans. Et la notion de "probabilité" lorsqu'il s'agit seulement de savoir si ça peut arriver, et si oui, souvent.

[f6bes]

Bjr à tous,
Je serais plus "imprégné" du probléme, si c'étais des ...bouses de vaches !!
En général on a beaucoup plus de chance de marcher dans celles çi (mme si attentionné )
Fait attention tu vas mettre le pied dans une..... ( et zut....trop TARD !)
Bonne journée

[Bounoume]

re-bonjour ,
que les discussions sont difficiles, même entre gens de bonne volonté!
l' obstacle:
inconsciemment nous mélangeons 2 modèles incompatibles:
l' un, où le marcheur est censé na jamais marcher 2 fois sur le même 'nid' [oui carré de 10*10]: cas "économe, droit dans ses bottes"
l' autre, où le marcheur divague dans tous les sens, et peut re-marcher sur n' importe quel carré.... : cas "divaguant, qui a trop bu".....

et on évacue toujours le fait que le marcheur a 2 pieds, et que le 2 eme se pose toujours à une distance fixe du premier (parfois d' ailleurs en diagonale si le guguse change de direction!)

cas "économe, droit dans ses bottes"

Exemple : si tu as une surface composée de 50000 carrés parmi lesquels un seul carré contient un nid, lorsque tu auras 'piétiné' 25000 carrés différents, la probabilité d'avoir écrasé un nid sera de 0.5 ou 50%

après, faut passer aux 10 nids disséminés... au hasard....

cas "divaguant, qui a trop bu":

Le fait qu'il soit possible de remettre le pied sur une case déjà piétinée fait que le nombre de pas est plus grand que le nombre de cases piétinées ... on me suit toujours ?
La probabilité d'écraser un nid en fonction du nombre de pas part de p(0) = 0, a pour asymptote horizontale p=100% et lorsque le nombre de pas est égal au nombre de case la probabilité d'avoir écrasé un nid et ses habitants est de ~63.2%

là aussi, après, faut passer aux 10 nids disséminés...... au hasard....

avec la probabilité d' écraser OU le nid 1 OU le nid 2 OU le nid 3..... ????

[MissJenny]

- Prairie de 12000m² (50mx240m).
- 10 nids de 10cm de diamètre placés aléatoirement sur la prairie.
- Un humain marche sur cette prairie de façon aléatoire (si cela simplifie, l'on peut considérer qu'il marche en ligne droite et rebondi en lisière de prairie).

si on suppose que l'humain démarre sur un bord du rectangle, prend une direction aléatoire puis marche en ligne droite jusqu'à toucher un autre bord, et à partir de ce point répète le même processus (choisir une direction aléatoire et traverser en ligne droite) alors à chaque fois qu'il touche un bord il se trouve dans la même situation qu'au début. Il suffit donc de calculer la probabilité qu'à la première traversée il passe à moins de x centimètres d'un point donné du rectangle. Ensuite le rang de la traversée au cours de laquelle il rencontrera le nid suit la loi géométrique.

[Liet Kynes]

je pense que tel quel le problème est trop difficile. ll faudrait un peu "idéaliser". La théorie qui me paraît le plus proche de ce problème est celle des processus poissoniens de lignes dans le plan. C'est-à-dire que le parcours de ton marcheur serait assimilé à une famille aléatoire de droites du plan. Dans ce cas on peut calculer la probabilité qu'une ligne passe à moins de telle distance d'un point du plan donné. Mais il n'y a pas de notion de "pas", c'est-à-dire qu'on ne pourrait pas faire la différence entre un nid enjambé et un nid écrasé. Et de plus il n'y a pas de notion de vitesse de parcours, on ne pourrait pas calculer précisément le temps ou la distance nécessaire pour écraser un nid.

si tu veux traiter complètement ton problème, je ne vois que la simulation.

Utiliser un quadrillage, chaque case correspond à un pas possible sur la prairie à combiner avec la probabilité de toucher le nid sachant la longueur du pas et le diamètre du nid et enfin le nombre de pas effectués en moyenne ?

Il s'agit plus d'une expérimentation qu'autre chose, il faudrait observer un nombre significatif de marcheurs pour chaque catégorie de marcheurs (morphologie, but de la présence dans la prairie mais aussi météo, durée du jour...)
On ne peut à mon avis pas modéliser non plus le comportement du promeneur ni estimer s'il va faire des séquences de trajets en aller retours correpondant à la portée de son regard (recherche de chamignons, pissenlits..) et espérer créer des plus petits quadrillages que la prairie divisés par la longueur moyenne des pas.

Bref une réponse mathématique demande déjà des données expérimentales.

[Biname]

Salut,

re-bonjour ,
après, faut passer aux 10 nids disséminés... au hasard....

Si après N pas, on a _probablement_ piétiné x pourcents de la surface sur laquelle sont installés au hasard 10 nids, on a probablement écrasé 10 * x% / 100 nids ; dans le cas où on aurait _probablement_ piétiné 50% de la surface après n pas, on aurait _probablement_ écrasé 50% des nids, soit dans notre cas 5 nids et(1) c'est là que c'est amusant ... donc la probabilité d'avoir écrasé un nid est _probablement_ de 500% ... ce qui est faux. Il y a plusieurs variables aléatoires dans ce problème : la surface piétinée en fonction du nombre de pas et la position de chacun des 10 nids. C'est un problème de troll .

là aussi, après, faut passer aux 10 nids disséminés...... au hasard....
avec la probabilité d' écraser OU le nid 1 OU le nid 2 OU le nid 3..... ????

--->(1)

Biname

[Bounoume]

salut,
bien sûr que la proba ne peut dépasser100: il faut aborder le problème autrement.....
considérer séparément chacun des ensembles [emplacements possibles ET un des nids]
[tous les emplacements du rectangle, et nid 1]
[tous les emplacements du rectangle, et nid 2]
[tous les emplacements du rectangle, et nid 3]
etc
vicieusement, on va calculer parallèlement la probabilité d' écrasement du nid 1 dans l' ensemble 1, la proba d' écrasement du nid 2, dans l' ensemble 2, celle du nid 3.....
en fonction du nombre de pas effectués (au hasard .... ou même sans repasser au même endroit....)

Il s' agit d' événements indépendants....
On recherche la proba d' écraser AU MOINS un nid..... au-delà, pas d' importance, le crime est déjà commis, et le promeneur doit être sévèrement puni....

calcul exact: calculer la probabilité d' écraser au moins un nid est celle d' écraser un nid tout seul, diminuée de celle d' avoir déjà écrasé au moins un des précédents de la liste.....

[ il ne faut pas compter 2 fois le fait d' écraser..... sinon on dépassera le maxi qui est 1, car on compte le fait d' écraser, pas le nombre de nids écrasés] ;
ainsi on ajoute
p(nid1 OR nid2 OR nid3....) =p(nid1) +
p(nid2) * (1-p(nid1)) +
p(nid3) * (1- [p(nid1) + p(nid2) * (1-p(nid1) ]) ) ]+
p(nid4) * (1- [p(nid1) + p(nid2) * (1-p(nid1) + p(nid3) * (1- [p(nid1)+p(nid2) * (1-p(nid1) ]) ]) +
p(nid5) * (1- [p(nid1) + p(nid2) * (1-p(nid1)) + p(nid3) * (1- [p(nid1) + p(nid2) * (1-p(nid1) + p(nid4) * (1- [p(nid1) + p(nid2) * (1-p(nid1) +
p(nid3) * (1- [p(nid1)+p(nid2) * (1-p(nid1) ]) ]) ])+

+ ......ça donne des récurrences horribles....... j' arrête...........

soit, puisque pour chaque nid isolément, la proba est constante
p totale=
p +
p * (1-p) +
p * (1 - [p + p * (1-p) ] )+
p * (1- [p + p *(1-p) + p * (1 - [p + p * (1-p)] ) ] ) +
p* (1- [ p + p * (1-p) + p * (1 - [p + p * (1-p)] ) ] ) + p * (1- [p + p *(1-p)] ) ]+ p * (1- [p + p *(1-p) + p * (1 - [p + p * (1-p)] ) ] ) ] ) +
.........là aussi, j' abandonne..... en supposant que la suite demeure inférieure à 1.......
peut-être + facile à obtenir en programmant des fonctions récursives..... ?

[Biname]

Salut,

Un 'petit' code maison qui parcourt le champ en 'random case'
https://onlinegdb.com/cuy2tsJOl
il montre comment un autre code parcourt 100 fois le champ et sort un csv pour office ou ...
On voit que selon le parcours parmi ces 100 parcours, le premier nid est écrasé après 9 pas minimum et 30765 pas maximum
Avec un tableur, moy, min, max, var et ecart type sont si simples

Si tout va bien ????

Biname

[Inimion]

Bonjour,

Merci à tous pour vos interventions, et désolé pour le temps de réaction, j'ai très peu de disponibilités en ce moment.

Biname, merci un peu plus particulièrement pour ton acharnent. Malheureusement, je crois que ce problème, si simple, est beaucoup trop compliqué pour arriver à calculer quoi que ce soit qui pourrait apporter quelque chose. Même en continuant à creuser dans la voie que tu a choisi, au mieux, l'on pourrait finir par créer un robot qui avancerait aléatoirement à chaque pas (encore plus chaotique qu'un home soul) mais ce serait encore beaucoup trop éloigné de la réalité pour servir.

Je me rends compte que même avec un bagage mathématique important ont est loin de pouvoir toucher du doigt quelque chose qui se rapprocherait de la réalité simplement.

Quand j'ai posté ce sujet, j'ai pensé à un logiciel de simulation existant, dans lequel on pourrait faire avancer un marcheur aléatoirement, et qui pourrait en ressortir des probabilités. Mais, manifestement, cela ne semble pas être quelque chose de commun car les personnes qui l'ont évoqué n'ont pas été plus loin.

Peut-être qu'une revue à la baisse de l'énoncé permettrait de ne pas être "bredouille" :
Sur la base de la dernière intervention de MissJenny, il ne me semble pas inintéressant de savoir qu'elle est la probabilité d'écraser un nid en traversant la prairie dans sa longueur, en ligne droite.
Ainsi, nous aurions 500 lignes de 2400 cases. Avec toujours 3 cases écrasées par un pied et un pied tous les 60cm. Autrement dit : une succession de 3 cases écrasées suivies de 3 cases non écrasées.
Toujours avec 10 nids sur toute la surface, quelle est la probabilité d’écraser au moins un nid lors d'une traversée ?

Mais est-ce suffisamment "simple" pour calculer une probabilité ?

[gg0]

Ok, ce modèle devient exploitable :

On prend sur une traversée où le pied se pose sur un tiers de 2400 cases, soit 800 cases. Le problème revient à poser 10 nids sur 500*2400 cases, de façon équiprobable, puis à calculer la probabilité que l'un des nids au moins soit sur une des 800 cases. Vu le nombre de cases, on peut considérer que les poses de nids sont indépendantes (la probabilité que 2 nids soient au même endroit est extrêmement faible). On calcule alors la probabilité contraire, celle qu'aucun nid ne soit dans les 800. C'est [(2400*500 - 800)/(2400*500)]^10 \approx 0,9933533; et la probabilité qu'on écrase au moins un des nids dans une traversée longitudinale est alors de 0,0066467 environ.
Cela pour une quelconque traversée. En première approximation, si on fait 2, 3, n traversées, la proba de ne marcher sur aucun nid devient 0,9933533^2, 0,9933533^3, 0,9933533^n si les traversées sont différentes; tout ceci pour n petit, car l'approximation devient très fausse pour n grand.
Pour n= 20, on trouve(avec une valeur plus précise) environ 0,125 soit une chance sur 8 d'avoir marché sur un nid au moins. Donc, pour 20 passages longitudinaux différents. Attention, s'il y a des passages fréquents, souvent ils se font les uns sur les autres.

Cordialement.

[Inimion]

Bonsoir gg0,

Pourquoi 1/3 et non pas 1/2 ? Lorsque le promeneur fait un pas il écrase 3 cases et en épargne 3. Il écrase donc la moitié des cases.

[gg0]

Effectivement, je me suis laissé prendre par le 3/3. Je reprends le calcul :

On prend sur une traversée où le pied se pose sur la moitié de 2400 cases, soit 1200 cases. Le problème revient à poser 10 nids sur 500*2400 cases, de façon équiprobable, puis à calculer la probabilité que l'un des nids au moins soit sur une des 800 cases. Vu le nombre de cases, on peut considérer que les poses de nids sont indépendantes (la probabilité que 2 nids soient au même endroit est extrêmement faible). On calcule alors la probabilité contraire, celle qu'aucun nid ne soit dans les 1200. C'est [(2400*500 - 1200)/(2400*500)]^10 \approx 0,99; et la probabilité qu'on écrase au moins un des nids dans une traversée longitudinale est alors de 0,00995512 environ.
Cela pour une quelconque traversée. En première approximation, si on fait 2, 3, n traversées, la proba de ne marcher sur aucun nid devient 0,99^2, 0,99^3, 0,99^n si les traversées sont différentes; tout ceci pour n petit, car l'approximation devient très fausse pour n grand.
Pour n= 20, on trouve(avec une valeur plus précise) environ 0,18 soit une chance sur 5,5 d'avoir marché sur un nid au moins. Donc, pour 20 passages longitudinaux différents.

Désolé de cette erreur grossière.

[Biname]

Salut,

Et on en revient à mon rapport entre la surface totale piétinée et la surface totale(msg #15) qui ne dépend en rien de l'ordre dans lequel les pas sont effectués.

1nid=1200/(500*2400)=0.001 pour un nid et p10nid=0.01 pour 10 nids

Le seul intérêt de ces hypothèses est qu'elles éliminent les cas où une case est piétinée plusieurs fois.

Si ça vous dit, j'ai un fichier .csv(700k) issu un code qui fait 10000 parcours parmi 1 500 000 cases et écrase tous les nids ! Calc en tire des diagrammes en bâtonnet proba x nid écrases, 1000 bâtonnets.

Ici, en abscisse le nombre de pas divisé par 1000, largeur des bâtonnets 1000 pas. En ordonnée, parmi les 10000 parcours, le nombre de parcours lors desquels 3 nids ont été écrasés après entre x*1000 et (x+1)*1000 pas

Ici probabilité d'avoir écrasé 3 nids :
Ex sur ce graphique : sur 10000 parcours aléatoires, lors de ~60 de ces parcours, 3 nids ont été écrasés après entre 100000 et 101000pas
Il faudrait intégrer ..., ça ressemble à une distribution gamma ... yapuka

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