Calcul de l'écart-type de moyennes 2 à 2 de valeurs

[zigobas]

Bonjour à tous,
Les maths sont un peu lointaines pour moi et je tourne en rond sur un problème qui doit être simple...j'aurais besoin d'un peu d'aide.

Je vais essayer de décrire correctement le problème; n'hésitez pas s'il y a des coins obscurs.

Je réalise des milliers de mesures successives (monitorage) d'un détecteur de radioactivité au silicium (on va dire que j'ai 2^n mesures pour simplifier).
Au final, je suis bien une loi de Poisson avec une très belle courbe de distribution. La moyenne (16) de la série vaut la médiane, ainsi que l'espérance. L'écart-type est de 4,01. Bref la réalité suit assez bien le modèle avec beaucoup de mesures.

Ma question porte sur un aspect pratique de l'expérience pour lequel je ne parviens pas à calculer la formule finale de l'écart-type :
J'ai besoin de réaliser la moyenne de deux mesures successives. C'est à dire que de mes mesures X0, X1, X2, X3, ..., Xn je calcule la série (X0+X1)/2, (X2+X3)/2, etc...
J'obtiens donc la moitié de mes mesures.

La moyenne et la médiane restent inchangées au calcul, mais l'écart-type diminue. Cela me semble logique puisque si l'on itère ce process de moyenne (d'où les 2^n mesures), l'ensemble des valeurs calculées s'approchent de la moyenne, donc l'écart-type se réduit.

D'où la question : est-ce qu'il y a une formule simple pour calculer ces écart-types résultant de la moyenne sur deux valeurs calculées ?
J'ai tenté de passer par la stabilité par la somme (deux valeurs de la série me semblent indépendantes) et le facteur multiplicatif d'une série qui se retrouve sur l'écart type (1/2 pour la moyenne), mais il ne me semble pas aboutir sur le bon résultat (2,82 en théorie, mais 3,1 en pratique).

Merci d'avance !
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[MissJenny]

La moyenne (16) de la série vaut la médiane, ainsi que l'espérance.

dans la loi de Poisson la médiane n'est pas égale à la moyenne (et l'espérance est la même chose que la moyenne).

[zigobas]

"Bonjour",

Je parlais des valeurs calculées de ma série. Mais oui, on s'approche plutôt d'une Loi Normale, avec moyenne=médiane=espérance.

Sinon, un avis sur la question ?

[MissJenny]

si X et Y suivent des lois de Poisson et sont indépendantes alors X+Y suit une loi de Poisson. Donc si tous les Xi suivent la même loi de Poisson de moyenne lambda et sont indépendantes, alors les sommes X1+X2, X3+X4, etc sont encore indépendantes et de même loi de Poisson (de moyenne 2*lambda).

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Bonjour,

Si on a une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées , d'espérance et d'écart-type (peu importe la loi), alors les variables aléatoires forment de nouveau une suite de variables aléatoires iid, d'espérance et d'écart-type .

[zigobas]

Bonjour GBZM, merci pour votre réponse !
Donc en fait j'étais bien dans le vrai en passant par la stabilité de la somme et facteur racine(1/2).
Du coup, on retrouve bien environ 2,82 cité plus haut (σ initial=4).

Mais dans la pratique, en répétant l'expérience (plusieurs milliers de mesures par test), je cale quasi-parfaitement bien sur une Normale (moyenne, médiane, espérance, répartition des intervalles), le graphique est tip-top, mais l'écart type de la série calculée par moyenne est toujours un peu plus élevé que 0,7*σ (en général 3,1 plutôt que 2,82)
C'est donc bien un phénomène/bruit de l'expérience ?

[gg0]

Cela pourrait correspondre à une certaine dépendance des données successives. Qui se manifestera nettement dans un calcul d'autocorrélation.

[MissJenny]

c'est marrant que tu parles toujours de moyenne et espérance. Dans le langage probabiliste ces deux mots sont synonymes, et si tu te places du point de vue statistique, tu as accès à la moyenne empirique mais pas à l'espérance. Enfin bref...

si tes moyennes (Xi+Xi+1)/2 sont surdispersées par rapport à la loi de Poisson c'est probabiement parce que tu as une autocorrélation positive.

[GBZM]

Je dirais même plus : tes résultats expérimentaux indiquent une covariance de 0,15 entre les et les .

[GBZM]

Erreur, covariance de 0,8.

[zigobas]

Je viens de faire mouliner l'expérience plusieurs heures pour obtenir beaucoup plus de valeurs, effectivement, l'écart-type passe sous la barre des 2,9.
Il devait y avoir soit un manque de mesure, soit un petit bruit dans l'expérience. Dans la pratique, difficile de toute façon d'avoir une indépendance stricte des comptages successifs (alimentation, capas parasites, temps mort du capteur, etc.)
Merci et bonne journée