Matrices rectangulaires.

**Anonyme007** · 27/04/2022, 07h34

Bonjour,

Je ne suis pas très familier avec les matrices rectangulaires, et j’ai une petite question à ce propos.

Soit $\text{[math]}$ une matrice carrée réelle, de taille $\text{[math]}$ , de la forme,
$\text{[math]}$

Pour quelles conditions sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , la matrice, $\text{[math]}$ , est inversible ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 27/04/2022, 07h47

Autrement dit, est ce qu'il suffit d'utiliser les fameux arguments autour de la notion de rang d'une matrice pour répondre à cette question ? Mais, le problème ici, est que les matrices dans la décomposition de $\text{[math]}$ sont rectangulaires et non carrées. Je ne sais pas si les mêmes propriétés sur la notion de rang d'une matrice carrée s'étendent sans problèmes aux matrices rectangulaires.

**MissJenny** · 27/04/2022, 08h02

Le rang d'une matrice peut être vu comme le rang de l'application linéaire correspondante, des espaces vectoriels munis de bases étant donnés. Donc il n'y a pas de problème pour parler du rang d'une matrice rectangulaire.

**Anonyme007** · 27/04/2022, 08h13

Merci MissJenny pour ta réponse.
Donc, pour que $\text{[math]}$ soit inversible, il faut et il suffit que, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ soit toutes deux de rang supérieur ou égale à $\text{[math]}$ ? Est ce que c’est ça ?
Merci d’avance.

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**MissJenny** · 27/04/2022, 08h58

il faut mais il ne suffit pas. Tu as la relation rang(AB)<=min(rang(A),rang(B)) .

**jacquolintégrateur** · 27/04/2022, 10h58

Bonjour
Voir, par exemple:
Cracovienhttps://hmn.wiki › Cracovian
...et la suite.
Cordialement

**Anonyme007** · 28/04/2022, 02h46

Merci beaucoup MissJenny et jacquolintégrateur pour votre aide.

Tout à l'heure, à l'aide d'un logiciel de calcul formel, j'ai vérifié sur quelques exemples, que si $\text{[math]}$ se décompose en un produit matriciel comme suit : $\text{[math]}$ , avec,

- $\text{[math]}$ de taille $\text{[math]}$ , et de rang $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ de taille $\text{[math]}$ , et de rang $\text{[math]}$

Alors,

- $\text{[math]}$ est de taille $\text{[math]}$ , et de rang $\text{[math]}$ .

Je ne sais pas si on peut généraliser ce résultat comme suit,

Si $\text{[math]}$ se décompose en un produit matriciel comme suit : $\text{[math]}$ , avec,

- $\text{[math]}$ de taille $\text{[math]}$ , et de rang $\text{[math]}$ , avec, $\text{[math]}$ .
- $\text{[math]}$ de taille $\text{[math]}$ , et de rang $\text{[math]}$ , avec, $\text{[math]}$ .

Alors,

- $\text{[math]}$ est de taille $\text{[math]}$ , et de rang $\text{[math]}$ .

Pouvez vous confirmer ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 28/04/2022, 05h21

Pardon, je corrige un point dans ce que j'ai écrit dans mon poste précédent :
$\text{[math]}$ vérifie, $\text{[math]}$ , et non, $\text{[math]}$ .
Pouvez vous confirmer ma conjecture s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

**Anonyme007** · 28/04/2022, 06h55

Montrer que $\text{[math]}$ revient à montrer que, $\text{[math]}$ , puisque, $\text{[math]}$
D'où, montrer que $\text{[math]}$ revient à montrer que, $\text{[math]}$ , puisque, $\text{[math]}$ .
Or, $\text{[math]}$ . D'où, $\text{[math]}$
D'où, $\text{[math]}$ équivaut à, $\text{[math]}$ . C'est à dire, à, $\text{[math]}$
Puisque, $\text{[math]}$ , alors, $\text{[math]}$ . Et cette égalité est valide.
D'où, $\text{[math]}$ .
D'où, ma conjecture est valide aussi.

**MissJenny** · 28/04/2022, 07h18

Désolé mais il est très facile de trouver des contre-exemples à ta conjecture. Si tu raisonnais en termes géométriques tu les trouverais aussi. Mais pour un exemple trivial, considère la matrice A 1xn A=(1,0,...,0) et B nx1 B=(1,0,...,0)' (B est la transposée de A). A,B et AB sont de rang 1. D'après ta conjecture AB devrait être de rang n-1.

**Anonyme007** · 28/04/2022, 08h03

Merci MissJenny, mais, voici ce que j’ai écrit dans un autre poste,

Envoyé par Anonyme007

Pardon, je corrige un point dans ce que j'ai écrit dans mon poste précédent :
$\text{[math]}$ vérifie, $\text{[math]}$ , et non, $\text{[math]}$ .
Pouvez vous confirmer ma conjecture s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

Je pense que ma conjecture reste toujours valide.

**MissJenny** · 28/04/2022, 08h36

prends pour A la matrice [I|0] où I est la matrice identité mxm et 0 est la matrice nulle mx(n-m) et [.|.] désigne la juxtaposition des matrices. Prends pour B la transposée de A. A et B sont de rang m et AB est la matrice identité mxm, dont le rang est m. Tu peux choisir m et n tels que m<n<2m. (c'est une généralisation immédiate de l'exemple précédent où m valait 1).

**Anonyme007** · 28/04/2022, 11h23

Envoyé par MissJenny

prends pour A la matrice [I|0] où I est la matrice identité mxm et 0 est la matrice nulle mx(n-m) et [.|.] désigne la juxtaposition des matrices. Prends pour B la transposée de A. A et B sont de rang m et AB est la matrice identité mxm, dont le rang est m. Tu peux choisir m et n tels que m<n<2m. (c'est une généralisation immédiate de l'exemple précédent où m valait 1).

Non. La matrice $\text{[math]}$ s'identifie à la matrice $\text{[math]}$ qui est de taille $\text{[math]}$ , donc, $\text{[math]}$ est plutôt une matrice de taille $\text{[math]}$ , et non de taille $\text{[math]}$ .

**gg0** · 28/04/2022, 11h45

Tu racontes n'importe quoi ! "s'identifie" ne veut rien dire. Fais des maths !! Lis ce que te dit MissJenny.

**Anonyme007** · 28/04/2022, 11h52

Envoyé par gg0

Tu racontes n'importe quoi ! "s'identifie" ne veut rien dire. Fais des maths !! Lis ce que te dit MissJenny.

Si ce que je raconte n'importe quoi, pourquoi la démonstration suivante est correcte :

Envoyé par Anonyme007

Montrer que $\text{[math]}$ revient à montrer que, $\text{[math]}$ , puisque, $\text{[math]}$
D'où, montrer que $\text{[math]}$ revient à montrer que, $\text{[math]}$ , puisque, $\text{[math]}$ .
Or, $\text{[math]}$ . D'où, $\text{[math]}$
D'où, $\text{[math]}$ équivaut à, $\text{[math]}$ . C'est à dire, à, $\text{[math]}$
Puisque, $\text{[math]}$ , alors, $\text{[math]}$ . Et cette égalité est valide.
D'où, $\text{[math]}$ .
D'où, ma conjecture est valide aussi.

**MissJenny** · 28/04/2022, 12h05

en fait rien n'est faux dans ce que tu as écrit mais la démonstration tourne en rond et ne démontre rien. C'est logique d'ailleurs puisque le résultat est faux.

**Anonyme007** · 28/04/2022, 12h14

Envoyé par MissJenny

en fait rien n'est faux dans ce que tu as écrit mais la démonstration tourne en rond et ne démontre rien. C'est logique d'ailleurs puisque le résultat est faux.

Non, j'ai simplement rédiger comme dans un brouillon. C'est pourquoi ça a eu un peu l'air de tourner en rond.
Le but est de montrer que $\text{[math]}$ . Pour cela, j'ai montré que $\text{[math]}$ équivaut à $\text{[math]}$ . Or, $\text{[math]}$ est correct, donc, $\text{[math]}$ est correct. Ainsi, $\text{[math]}$ .
Pourquoi dis tu que le résultat est faux ?

**GBZM** · 28/04/2022, 14h33

Bonjour,

C'est clairement faux, un contrexemple t'a déjà été donné. Il t'en faut un autre ? Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ de rang 2, alors que selon toi elle devrait être de rang 3-2=1.

**Anonyme007** · 28/04/2022, 19h16

Bonjour,

Envoyé par GBZM

Bonjour,

C'est clairement faux, un contrexemple t'a déjà été donné. Il t'en faut un autre ? Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ de rang 2, alors que selon toi elle devrait être de rang 3-2=1.

Merci. Mais, ce n'est pas un contre-exemple fiable, parce que, comme je l'ai souligné dans un message précédent, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ s'identifient toutes deux à la matrice $\text{[math]}$ parce qu'elles représentent la meme application linéaire $\text{[math]}$ , à isomorphisme près.

**stefjm** · 28/04/2022, 19h36

?????????????

**Anonyme007** · 28/04/2022, 19h43

Envoyé par stefjm

?????????????

On a, $\text{[math]}$ , donc, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont toutes deux de tailles, $\text{[math]}$ , et non de taille, $\text{[math]}$ ou de taille $\text{[math]}$ .

**gg0** · 28/04/2022, 19h46

Tu racontes n'importe quoi ! "s'identifie" ne veut rien dire.

Aucune de ces deux matrice n'est la matrice identité, ni la matrice d'une application identique. Ce genre de confusion explique parfaitement que tu puisses croire avoir démontré des conjectures difficiles : Tu confonds !!

Allez, exercice pour débutant en algèbre linéaire : Trouve deux espaces vectoriels, des bases et une application linéaire telle que A en soit la matrice (on faisait ça en première en France dans les années 80)

**Anonyme007** · 28/04/2022, 20h10

Envoyé par gg0

Aucune de ces deux matrice n'est la matrice identité, ni la matrice d'une application identique. Ce genre de confusion explique parfaitement que tu puisses croire avoir démontré des conjectures difficiles : Tu confonds !!

Allez, exercice pour débutant en algèbre linéaire : Trouve deux espaces vectoriels, des bases et une application linéaire telle que A en soit la matrice (on faisait ça en première en France dans les années 80)

$\text{[math]}$ a pour matrice $\text{[math]}$ , si, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ est une base de $\text{[math]}$ qui est ici l’espace d’arrivée de $\text{[math]}$ .

**gg0** · 29/04/2022, 07h27

Tu racontes n'importe quoi !
Tu confonds depuis des années écrire des formules qui ressemblent à des maths plutôt que d'en faire !

Ton application ne vérifie même pas f(x)=x, mais comme tu ne réfléchis pas ....

**MissJenny** · 29/04/2022, 07h35

Envoyé par Anonyme007

$\text{[math]}$ a pour matrice $\text{[math]}$ ,

ça c'est fort! j'avoue que je n'y aurais jamais pensé... Il est vrai que R^2x{0} est un R-espace vectoriel, par contre il n'est pas de dimension 3.

**Anonyme007** · 29/04/2022, 14h17

Envoyé par MissJenny

Il est vrai que R^2x{0} est un R-espace vectoriel, par contre il n'est pas de dimension 3.

On n'est pas obligé de le prendre en dimension $\text{[math]}$ . N'est ce pas ?

**MissJenny** · 29/04/2022, 14h23

ah ben si quand-même, si tu veux une matrice 2x3.

**Anonyme007** · 29/04/2022, 14h24

Envoyé par gg0

Ton application ne vérifie même pas f(x)=x, mais comme tu ne réfléchis pas ....

Bien sûr que $\text{[math]}$ vérifie $\text{[math]}$ . En effet,

$\text{[math]}$ s’identifie à $\text{[math]}$ , et, $\text{[math]}$ s’identifie à $\text{[math]}$ , et on a,

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

**Anonyme007** · 29/04/2022, 14h29

Envoyé par MissJenny

ah ben si quand-même, si tu veux une matrice 2x3.

Non, ce n'est pas une règle ça, mais juste une convention.

On peut à tout moment identifier $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ sans aucun problème.

**MissJenny** · 29/04/2022, 14h34

ben non, une matrice 2x3 correspond à une application linéaire d'un EV de dimension 3 vers un EV de dimension 2, tu ne peux pas échapper à cette loi d'airain. Ton truc d'identification n'est pas un argument suffisant. Et R^2x{0} est de dimension 2. En fait la seule base de {0} est la partie vide, et on obtient une base du produit en choisissant une base de R^2 (donc à 2 éléments) et la base de {0} qui est vide, ça fait toujours 2 vecteurs.

Matrices rectangulaires.

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Re : Matrices rectangulaires.

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