Minimiser un résultat

[vichente18]

Bonsoir ,

Je me questionne sur un problème que je souhaite résoudre :

Nous avons la multiplication de fractions suivante :

( x / 37 ) * ( y / 37 )

Le but est de trouver x et y tel que le résultat soit le plus petit possible avec deux conditions à respecter :

x+y = 65
x et y doivent être entiers et compris entre 28 et 36.

Par tâtonnement c'est très facile mais j'aimerai si possible avoir une méthode générale pour pouvoir etre tranquille sur ce style de problèmes , faut il associer la condition à une fonction de deux variables et l'optimiser ?

C'est surement assez simple mais je sèche , si quelqu'un a une idée
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[jiherve]

bonsoir
ben tu remplaces y par 65-x et hop!
JR

[vichente18]

( x / 37 ) * ( 65-x / 37 ) =( -x² + 65 x ) /1369

La dérivée est - 2/1369 x + 65 /1369

quand on la fixe à 0 , on trouve forcément 32.5. Or ce n'est pas ça le bon résultat.

[jiherve]

re
en es tu sur ?
JR

[A voir en vidéo sur Futura]

[vichente18]

sur de quoi ? bah oui ( 32.5 / 37 ) * ( 32.5/37 ) = 0.771
il suffit de prendre ( 34/37 ) * (31/37 ) = 0.7699

[jiherve]

re
ah le petit malin qui a corrigé son message mais cela laisse des traces!
Ensuite en effet 32.5 n'est pas un entier j'avais zappé cette condition!
JR

[vichente18]

Mais du coup c'est quoi la solution ?

Et quelle méthode peut on appliquer avec n variables ?

[MissJenny]

( x / 37 ) * ( 65-x / 37 ) =( -x² + 65 x ) /1369

La dérivée est - 2/1369 x + 65 /1369

quand on la fixe à 0 , on trouve forcément 32.5. Or ce n'est pas ça le bon résultat.

tu ne peux pas trouver le minimum de cette façon puisque tu as une parabole dont les branches sont "vers le bas".

En fait le minimum est atteint à l'une des bornes de l'intervalle de variation de x, soit 28 ou 36. Donc on calcule : 28*(65-28) = 1036 et 36*(65-36) = 1044. Le minimum est en x=28 (au fait diviser par 37 ne sert à rien, j'imagine que tu l'avais remarqué)

[vichente18]

Merci beaucoup , ça m'aide bien à comprendre les subtilités du truc. J'en avais une idée vague mais je restais enfermé sur mes vieux cours de lycée , comme quoi le mini / max en second degré ça passait forcément par une dérivée nulle , mais oui ça dépend de l'orientation de la fonction.

Cependant , admettons que je souhaite généraliser mon problème à davantage de variables , par exemple je cherche à minimiser :

( x/ 37 ) * ( y/ 37 ) * ( z/ 37 ) avec exactement les memes conditions , là on ne peut plus exprimer x en fonction de y , on aura forcément deux variables. Comment s'en sortir dans cette situation ?

J'ai une intuition qu'il faudra passer par l'outil gradient d'une fonction de deux variables mais c'est flou dans mon esprit

[MissJenny]

j'imagine que la solution se trouve encore sur un bord du domaine.

[gg0]

Bonjour.

C'est vraiment le degré zéro de la réflexion ! Les 37 ne servent à rien puisque ( x/ 37 ) * ( y/ 37 ) * ( z/ 37 ) sera minimum quand xyz sera minimum. Avant de poser une question, on essaie de la débarrasser de ce qui ne sert à rien.
Ensuite "avec exactement les mêmes conditions , là on ne peut plus exprimer x en fonction de y" est faux, puisqu'on a toujours y=65-x. Ce' qui est vrai, c'est qu'il reste deux variables.
Les techniques de recherche d'extrémums sont classiques, ça s'appelle "optimisation sous contrainte" et c'est un vaste domaine de l'analyse.

Cependant, ici, les conditions sont
"x+y = 65
x et y doivent être entiers et compris entre 28 et 36."
aucune ne porte sur z, ce qui fait qu'il n'y a pas de minimum, z pouvant être aussi négatif que l'on veut.

Manifestement, la portion de phrase " avec exactement les mêmes conditions" a été écrite sans réflexion sur le sujet, seulement comme opposition à ce qui avait été répondu auparavant.

Quel est le but de ces questions, Vichente ?

[MissJenny]

Cependant, ici, les conditions sont
"x+y = 65

j'avais plutôt compris x+y+z=65

[gg0]

" avec exactement les mêmes conditions" a-t-il écrit
x+y+z = 65 n'est pas la même condition, et d'ailleurs, prendre x+y+z=65 et x, y, z entiers compris entre 28 et 36 n'est pas possible.

Cordialement.

[MissJenny]

Les mêmes conditions mutatis mutandis... enfin vichente18 précisera s'il le veut.

[gg0]

Oui, qu'il ne se contente pas de deux phrases jetées sur le forum.