Bonjour à tous,
Je cherche à tirer au hasard un vecteur perpendiculaire à un autre dans l'espace. Supposons que j'ai un vecteur initilal, j'aimerai trouver
Pour l'instant ce qu'il me vient à l'idée, serait de changer le référentiel pour se ramener à générer un vecteur dans le plan perpendiculaire à
Auriez-vous d'autres idées peut-être plus simples?
Merci de vos réponses
Tu peux générer un vecteur aléatoire suivant une loi isotrope, et ensuite lui soustraire sa projection sur u.
Aucun changement de repère nécessaire en procédant ainsi.
tu peux projeter u sur le plan 1,2 (ça revient à "oublier" la troisième composante de u) et choisir un vecteur v de norme 1 de ce plan 1,2, orthogonal au projeté de u et donc à u. Ensuite tu prends le vecteur w produit vectoriel de u et v. Puis une combinaison linéaire aléatoire de v et w.
Dernière modification par MissJenny ; 27/05/2022 à 14h24.
Bonjour Lapart.
En géométrie, "tirer au hasard" n'a pas de sens bien défini (voir paradoxe de Bertrand). Ce qui fait que différentes méthodes (tu en as déjà deux) donneront différentes interprétations et des résultats différents.
Supposons choisie la direction et le sens de ton vecteur, il reste à trouver sa norme, un nombre positif. En général, au hasard veut dire "équiprobabilité", mais il n'est pas possible de tirer un réel positif avec équiprobabilité.
As-tu une idée de la loi d'obtention de ton vecteur ? de ce que veut dire dans ton cas "tirer au hasard" ?
Cordialement.
Merci à tous pour vos réponses aussi rapides que pertinentes.
Pour le contexte, c'est dans le cadre d'un modèle numérique de polymères branchés que j'ai besoin de générer un tel vecteur.
A première vue, j'allais sauter sur la première méthode suggérée par WizardOfLinn car elle me semblait la mieux adaptée en terme de temps de calcul. Les deux méthodes me semblant plus pertinentes que mon idée initiale utilisant des matrices de passages.
Cependant, le point soulevé par gg0 me fait douter (je réfléchis à mesure que je vous écris). Ce que je veux à la fin, c'est "tirer" un vecteur de norme 1, perpendiculaire à
(Je pense avoir fini de réfléchir). Je ne vois pas pourquoi la méthode où je génère un vecteur de manière isotrope, auquel je soustrais la projection de u (et que je renormalise derrière) introduirait un biais dans mon tirage. Ou peut-être je rate quelque chose.
En tout cas, merci beaucoup pour la discussion.
Cordialement
J'utilise cette méthode depuis longtemps, et les directions perpendiculaires sont bien équiprobables (à la précision de représentation près des réels sur les ordinateurs évidemment)
Soit w vecteur aléatoire (loi isotrope)
Décomposition : w = a.u + v
w*u = a.u*u + v*u = a.u*u (* produit scalaire)
a = (w*u)/(u*u)
v = w - a.u
Remarques :
- c'est une formule simple, mais si c'est dans une boucle de calcul intensif où les temps de calcul ont une importance, ce n'est pas nécessairement la méthode la plus efficace (plusieurs tirages aléatoires pour générer w, au lieu d'un seul tirage pour générer un angle, tout dépend du coût d'un tirage aléatoire).
- attention au tirage aléatoire du vecteur w, il faut bien que toutes les directions de l'espace soient équiprobables (ce qui n'est pas le cas si on génère la direction à partir d'un tirage de deux angles de coordonnées sphériques avec un loi uniforme, par exemple).
Les statisticiens n'aiment pas beaucoup la loi d'un vecteur normé isotrope comme tu dis, c'est-à-dire la loi uniforme sur la sphère, parce qu'elle n'a pas de moyenne. Du coup pas de loi des grands nombres, pas de théorème central limite, etc. Ils préfèrent regarder du côté des lois de Bingham.
A vrai dire, il n'est pas nécessaire que le vecteur w de la procédure décrite plus haut soit normé.
En pratique, on tire un point dans la sphère unité avec une distribution uniforme, et on ne normalise que le résultat final de la procédure, le vecteur v, si on veut un vecteur normé.
Dernière modification par WizardOfLinn ; 27/05/2022 à 18h37.
La technique de MissJenny :
Si
