sous espace vectorielle et dimension

[e5mm100]

Bonjour j'ai un exercice que j'ai fait et j'aimerai savoir si c'est bon :

voici le sujet :

On considère la famille suivante de vecteurs de R^4:
A={(1,2,3,1),(2,1,3,1),(1,1,2, 3),(1,1,3,2),(3,2,5,4)}
1. Cette famille est-elle libre ?
reponse : je vous détaille pas les calcules par ce que c'est un peut long mais j'ai calucler:
(a,b,c,d,e) ∈ R^5 tq : a(1,2,3,1)+b(2,1,3,1)+c(1,1,2, 3)+d(1,1,3,2)+e(3,2,5,4)=(0,0, 0,0)

et du coup à la fin je trouve a=0,b=0,c=0,d=0,e=0 donc je peux conclure que cette famille est libre

2.Quelle est la dimension de Vect(A), le sous espace vectoriel de R^4 engendré par A.
reponse : ici d'après la 1) A est libre et c'est une famille génératrice donc la dimensions de Vect(A) est 5
(je suis pas du tout sûre de cette réponse )

3.Donner deux bases différentes de Vect(A)
du coup d'après la 2) ((1,2,3,1),(2,1,3,1),(1,1,2,3) ,(1,1,3,2),(3,2,5,4)) est une base car c'est une famille libre et génératrice et ((2,4,6,1),(2,1,3,1),(1,1,2,3) ,(1,1,3,2),(3,2,5,4)) est aussi une base (j'ai juste multiplier le vecteur 1 de A par 2)

4. Donner une combinaison linéaire non triviale d'élément de A
ça veut dire quoi une CL non triviale ?

Voilà ! je vous remercie d'avance de votre aide
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Heu, pour la question 1, la famille ne peut pas être libre: vous avez 5 vecteurs dans un espace de dimension 4. Il est donc impossible d'avoir 5 vecteurs libres (par définition de la dimension).

Je pense que vous n'avez pas compris la définition de famille libre de vecteurs: vous ne pouvez conclure qu'elle est libre si a=0,b=0,c=0,d=0,e=0 est la seule solution à l'équation a(1,2,3,1)+b(2,1,3,1)+c(1,1,2, 3)+d(1,1,3,2)+e(3,2,5,4)=(0,0, 0,0)*.

*D'ailleurs, réfléchissez un peu: si on a , poser est toujours solution...

[Deedee81]

Salut

Il n'est d'ailleurs pas très difficile de trouver une solution non nulle.

Autre info utile : la dimension d'un sous-espace vectoriel est toujours inférieure ou égale à l'espace vectoriel (la réponse 2 aurait dû mettre la puce à l'oreille)
Pour le 3, l'intention était bonne mais évidemment la famille n'étant pas libre.... et fait attention, non tu n'as pas multiplié le premier vecteur par deux (ou plutôt il y a une faute d'inatention)
Enfin, le 4, combinaison linéaire tu sais ce que c'est et non trivial c'est avec des coefficients non nuls, tout bêtement.

[MissJenny]

2.Quelle est la dimension de Vect(A), le sous espace vectoriel de R^4 engendré par A.
reponse : ici d'après la 1) A est libre et c'est une famille génératrice donc la dimensions de Vect(A) est 5
(je suis pas du tout sûre de cette réponse )

c'est faux parce que tu t'es trompé dans les calculs et la famille n'est pas libre, mais le raisonnement est correct : si la famille était libre l'espace engendré serait bien de dimension 5.

3.Donner deux bases différentes de Vect(A)
du coup d'après la 2) ((1,2,3,1),(2,1,3,1),(1,1,2,3) ,(1,1,3,2),(3,2,5,4)) est une base car c'est une famille libre et génératrice et ((2,4,6,1),(2,1,3,1),(1,1,2,3) ,(1,1,3,2),(3,2,5,4)) est aussi une base (j'ai juste multiplier le vecteur 1 de A par 2)

tu aurais pu simplement permuter les éléments de A.

4. Donner une combinaison linéaire non triviale d'élément de A
ça veut dire quoi une CL non triviale ?

ça veut dire que les coefficients ne sont pas tous nuls. Mais je suppose qu'on veut une combinaison linéaire non triviale et nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Ça poste la même question tous azimuths !
https://www.maths-forum.com/superieu....html#p1518999
https://www.ilemaths.net/sujet-sous-espace-vectoriel-et-dimension-880653.htm

[Paraboloide_Hyperbolique]

Merci de ce signalement GBZM. C'est en effet indélicat de la part de e5mm100. Cela me donne l'impression qu'il n'a pas envie d'effectuer le (peu) de travail nécessaire à cet exercice.

[Deedee81]

Salut,

C'est un mauvais réflexe qu'on voit très/trop souvent. Et cela explique que souvent les questionneurs n'ont qu'un et un seul message à leur actif (pas tout à fait le cas ici mais c'est très fréquent). Et c'est irritant au possible.