Preuve de la dérivée non nulle

[Polyalg]

Bonjour,

J'ai une question à confirmer. Elle est à confirmer car je pense qu'elle est vraie.

"Soit une fonction polynôme d'ordre .

1. S'il n'y a qu'une seule racine alors la dérivée f' est toujours nulle quand f est nulle
2. S'il y a plusieurs racines, il existe toujours au moins une racine où f est nulle et sa dérivée f' est non nulle

"
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[pm42]

Bonjour,

"Soit une fonction polynôme d'ordre .[LIST=1][*]S'il n'y a qu'une seule racine alors la dérivée f' est toujours nulle quand f est nulle

f(x)=x. Est que la dérivée est nulle quand f est nulle en l'unique racine ?

[*]S'il y a plusieurs racines, il existe toujours au moins une racine où f est nulle et sa dérivée f' est non nulle
"

Tu peux regarder x^4-x^2+1/4 (à vérifier mais 2 racines, dérivée nulle pour les 2)

[Polyalg]

Bonjour pm42,

En fait, si la dérivée de f est non nulle, cela m'arrange.

C'est dans le cas où est nulle au point d'une racine de la fonction que cela ne m'arrange pas.

Et, je voudrais savoir s'il n'y a pas de cas où il existe plusieurs racines et dont la dérivée est nulle en chaque racine.

Bien cordialement

[pm42]

Et, je voudrais savoir s'il n'y a pas de cas où il existe plusieurs racines et dont la dérivée est nulle en chaque racine.

Si, il y en a et on peut même les construire facilement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Polyalg]

Merci, j'ai regardé sur geogebra.

Merci pour tes réponses.

J'ai une autre question.

Si la fonction f est définie par où H est un polynôme.

Est-ce que le rapport peut toujours s'écrire, globalement, par (quotient + reste d'ordre 1) ?

[Polyalg]

Pour faire plus simple comme question :

Est-ce que dans la division euclidienne entre un polynôme d'ordre et un polynôme d'ordre alors le reste est toujours au pire de degré ?

[gg0]

Bonjour.

Peux-tu expliquer de quoi tu parles ? Car je n'identifie pas tes notations, ni en termes de variations (), ni en termes de différentielles. D'où sort l'expression que tu écris à la fin ?.

Cordialement.

[gg0]

En complément sur la première partie de la discussion : Soit a une racine du polynôme P. Un théorème ultra-classique sur les polynômes permet de dire que P'(a) est non nul si a est une racine simple de P (donc pas racine double).

[Polyalg]

Bonjour gg0,

C'est ce que je pensais aussi par rapport au fait qu'il existe des racines dont géométriquement la pente n'est pas nulle.

[Polyalg]

Bonjour gg0,

Effectivement,

Aussi,

Et, divisant par on a un polynôme d'ordre 1 en si et seulement si .

Cela se démontre en posant :



Ce qui donne une condition

[Polyalg]

En fait, la démonstration s'écrit exactement par :

[gg0]

Je ne comprends rien à ce que tu racontes :

Cela se démontre en posant :

C'est du n'importe quoi ! Comme c'est généralement faux, on peut démontrer tout ce qu'on veut avec, mais ça ne prouve rien.

Tu es en train de faire quoi ?

[Polyalg]

gg0,

la formule n'est pas exacte, c'est celle d'en dessous.

J'explique :

Le rapport sur donne un polynôme d'ordre 1 en () si et seulement si .

Pour vérifier, il suffit de développer le produit : et de l'égaliser avec

Le problème est que, après, si alors la résolution n'est pas possible. Donc, l'idée que j'ai, c'est d'ajouter un terme supplémentaire en pour résoudre.

Et, ma question est : est-ce que c'est suffisant où bien est-ce qu'il y aurait des cas où il faut écrire ?

[gg0]

Je ne comprends rien à ce que tu fais. "Le rapport sur donne un polynôme d'ordre 1 en () " effectivement si H(x)=0. Mais je ne vois pas en quoi H' intervient. La seule condition est que H ne soit pas constant (sinon le quotient n'existe pas) :

Si H n'est pas constant (donc f de degré au moins 2) :

Et si H(x)=0

Il n'y a nulle part de dérivée ici !!
NB : Je n'ai pas utilisé la notation qui n'apporte rien au calcul.

[Polyalg]

Bonjour gg0,

Tu as raison, f doit être au moins de degré 2.

En fait, le on le trouve parce que .



Si il y a une indéterminée, non ?

Exemple 1:


Exemple 2:

[gg0]

D'où sors-tu ça ? C'est manifestement faux. Tes exemples le montrent bien

Exemple 1 :

H(x) est nul pour x=1, mais H'(1)=3-2 n'est pas nul. Et tu écris donc une contre-vérité. Et de plus on a

qui ne fait pas du tout x.
Et dans l'exemple 2, le quotient vaut (3x+1)/2, pas x.
Donc tu écris n'importe quoi !
Je ne sais pas pourquoi tu fais tous ces calculs bizarres et souvent faux, mais manifestement, il te manque les connaissances de base (niveau lycée) sur les polynômes et les dérivées qui te permettraient de calculer solidement.

Je veux bien t'aider à traiter une question qui t'intéresse, mais je ne continuerai pas à lire ce genre d'absurdité. Si tu travailles à partir d'un document, présente-le, si c'est un exercice ou un devoir, donne le sujet, et si c'est des idées personnelles, dis ce que tu veux faire.

[Polyalg]

Bonjour gg0

J'ai choisi x=0 ; toi, t'as choisi x = 1. Les résultats sont différents.


Maintenant, évite de m'agresser. Ce n'est pas parce que t'es derrière un ordinateur que tu peux tout te permettre avec les gens. Un peu d'éthique !
D'autant plus que tu te permets d'agresser les autres sans être viré du site.

[gg0]

"J'ai choisi x=0 ; toi, t'as choisi x = 1. Les résultats sont différents." C'est bien ce que je disais, et qui fait que ce qui était annoncé est faux ! Tout simplement faux.

"Maintenant, évite de m'agresser."
Si te demander pourquoi tu poses ces questions est être agressif, tu as vraiment le cuir sensible (ou plus sûrement, tu ne veux pas en parler, bizarre !).
Et si c'est entendre que "tu écris n'importe quoi" qui te déplaît, tant pis pour toi, c'est la vérité. On ne vire pas les gens du site parce qu'ils disent la vérité.
Fais sérieusement des maths (*) et tu auras droit à des félicitations.

(*) en appliquant strictement les règles, en n'inventant pas les réponses, ...