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Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???



  1. #1
    ozzieabroad

    Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Est-ce que qu-un peut expliquer ca, qui est cense de prouver que la derivee de exp est bien exp??

    d/dx [exp(x)] = 1/[1/exp(x)] = exp(x)

    Je ne vois pas comment cette preuve suit
    "ln x = y <===> exp y = x"
    et
    "ln est deriveable ainsi exp est derivable" - et c'est tout qui a ete ecrit comme explication.

    Aide beaucoup apprecie - merci!

    -----


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  3. #2
    invite43219988

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Comprends pas ce que tu écris mais je peux te donner la démonstration de la dérivée de exp(x):

    x=ln(exp(x))
    Donc
    1=exp'(x)/exp(x)
    finalement
    exp'(x)=exp(x)

    Sinon, ln est définie sur R+* dans R, c'est une fonction continue qui varie de -l'infini à +l'infini (surjective) et strictement croissante (donc injective). Donc, lnx est une bijection qui admet une bijection réciproque : exp(x) qui est définie sur R dans R+*.

    ln est dérivable, de dérivée ne s'annulant pas, donc exp est dérivable.

  4. #3
    ozzieabroad

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Merci beaucoup Ganash, mais je n'ai pas compris pourquoi 1=exp'(x)/exp(x).

    Comment on arrive a ca apres x=ln(exp(x))?

  5. #4
    olle

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    en dérivant... mais bon ça suppose de savoir que (ln(x))' = 1/x

  6. #5
    invite43219988

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Oui mais çà on le sait, c'est dû à la définition de lnx

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jdh

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    la dérivée de ln(u) est u'/u, dans notre cas exp'/exp.

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  10. #7
    tazeen

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    je rajouterais que la dérivée de ln est 1/x sur IR*+

  11. #8
    jdh

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Oui enfin vu qu'il doit être en terminal ça va, au fait sur R- c'est quoi??

  12. #9
    invite43219988

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    C'est pas dérivable sur R- car ln(x) est définie sur R+\{0}

  13. #10
    Coincoin

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    au fait sur R- c'est quoi??
    C'est ln(-x) (car la dérivée par rapport à x de ln(-x) est -1/(-x)). Tu peux raccorder les deux en disant que la primitive de 1/x sur R* est ln|x|
    Encore une victoire de Canard !

  14. #11
    invite43219988

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Ah ouais pas bête, mais je sais pas si mon prof de math aimerait que je lui dise çà.

  15. #12
    jdh

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Moi c'est pareil, il sait que j'ai de l'avance et dans le cours sur les primitives il me demande de lui donner une primitive qu'on est pas censé connaître et je lui sors: " C'est évident c'est ln de ..."
    Et il me répond que c'est pas évident du tout car on a pas vu ça encore.

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  17. #13
    invite43219988

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Ce n'est pas parce qu'on n'a pas vu la primitive de 1/x qu'il monterait au plafond, c'est surtout parce que je ne sais pas si on peut dire ce qu'à dit Coincoin.

  18. #14
    Coincoin

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Quelle confiance !
    Ce que j'ai dit est parfaitement rigoureux, et ma prof de prépa m'a tellement bassiné que j'ai retenu que ln|x| était une primitive de 1/x sur tout R*...
    Tu n'es pas convaincu que (avec u=-x) ? Tout est rigoureux, là-dedans (on a bien -x et u positifs donc on peut prendre le ln)
    Encore une victoire de Canard !

  19. #15
    jdh

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Ba théoriquement si. Si tu la dérive ça marche.

  20. #16
    invite43219988

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Ba théoriquement si. Si tu la dérive ça marche.
    Je ne pense pas que tu puisses dire çà sans même avoir une définition de lnx !
    Enfin là ce que tu dis m'a l'air de bien correspondre avec mon cours Coincoin !

  21. #17
    jdh

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Ba ln c'est le logarithme en base e.

  22. #18
    invite43219988

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    C'est pas la définition de ln çà. D'autant que çà ne te dit en rien si la primitive de 1/x sur R* vaut bien ln|x|

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  24. #19
    jdh

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    C'est vrai mais la définition de ln c'est le log en base e, après je ne suis pas sur que ce soit de mon niveau de décider de la légitimité de certaines règles.

  25. #20
    Coincoin

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Ce que je dis, c'est que si tu pars de la définition de ln comme la primitive de 1/x sur R+*, tu obtiens que ln|x| est une primitive de 1/x sur R*... C'est tout.
    Encore une victoire de Canard !

  26. #21
    invite43219988

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Définition :

    Pour x>0,

    Et encore, peut-être que l'année prochaine j'en verrai une autre encore mieux Enfin je pense pas.
    Dernière modification par invite43219988 ; 31/10/2004 à 17h15.

  27. #22
    jdh

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Bon ba moi j'ai pas cette définition (encore) je ne l'ai pas encore vu en classe, juste dans des bouquins.

  28. #23
    invite43219988

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    En fait, tu es obligé de définir ln en fonction d'une intégrale, sinon tu ne peux pas trouver la dérivée de exp(x)

  29. #24
    jdh

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    C'est logique.

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  31. #25
    invite43219988

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    C'est de l'humour ?

  32. #26
    ozzieabroad

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Citation Envoyé par olle
    en dérivant... mais bon ça suppose de savoir que (ln(x))' = 1/x

    Oui, merci, je sais que (ln(x))' = 1/x, mais quand on commence avec

    x = ln(exp(x)), on va deriver "x", PAS exp(x) - non?

    c'est-a-dire, on va obtenir x' = 1/exp(x),
    PAS exp'(x) = 1/exp(x)

    Il y a qu-chose que je ne vois pas, je suppose!

  33. #27
    Coincoin

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    La dérivée de f(g(x)) par rapport à x est g'(x)*f'(g(x)). Donc si tu prends f=ln et g=exp, alors la dérivée de ln(exp(x)) par rapport à x est exp'(x)*1/exp(x)...
    Encore une victoire de Canard !

  34. #28
    Quinto

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    En fait c'est facile a faire si on part de la vraie définition de l'exponentielle:
    On prend la fonction f définie par f(x)=(1+x+x²/2+x³/3!+...)=somme des x^k/k!

    Ca c'est la définition de l'exponentielle.
    On se rend compte que f est dérivable et de dérivée f.


    Bon historiquement c'est sur que ce n'est pas ainsi qu'elle a été définie, mais maintenant c'est ainsi qu'on le fait... Ca permet d'étendre la notion d'exponentielle à autre chose qu'à des réels...

  35. #29
    Quinto

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Citation Envoyé par Ganash
    En fait, tu es obligé de définir ln en fonction d'une intégrale, sinon tu ne peux pas trouver la dérivée de exp(x)
    Bien sur que si.
    De toute facon, on défini d'abord l'exponentielle et ensuite on défini le log lorsque c'est possible et pas l'inverse...

    Si tu veux tu peux trouver la dérivée de l'exponentielle en partant de la définition du log qui est sur ]-1,1[

    log(1+x)= somme des (-x)^k/k pour k variant de 1 à +oo

    Mais c'est moins rigolo je pense....


    Sinon tu peux définir le log comme l'unique fonction dérivable qui vérifie sur R+*:
    f(xy)=f(x)+f(y)
    f(1)=0

    Et la tu n'as pas de probleme normalement pour trouver la dérivée de l'exponentielle, et pourtant personne n'a parlé de définir ln à l'aide d'une intégrale...

  36. #30
    Quinto

    Re : Help! EXPLIqUER CETTE PREUVE de DERIVEE de EXP???

    Un truc "rigolo" à remarquer:

    On peut étendre la définition du log à C, mais il faut toujours enlever une demi droite fermée.

    Par exemple, on peut trouver le log de i ou de n'importe quel nombre complexe, mais pas des réels négatifs ou nul....

    C'est d'ailleurs à cause de ca que l'on ne peut définir le log(1+x) à l'aide d'une série que sur ]-1,1[ et pas sur un domaine centré en 0 plus grand...

    C'est fun, non?

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