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Dérivée de la fonction exp



  1. #1
    Sharp

    Dérivée de la fonction exp

    Salut,
    je voudrais savoir comment est-ce qu'on fait pour démontrer que (e^x)'=e^x? Parce que j'ai essayé avec la définition générale de la dérivée (lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h), mais je bloque.
    Merci d'avance!

    -----


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  3. #2
    folky

    Re : Dérivée de la fonction exp

    e(x+h)-e(x)=e(x)[e(h)-1]

    Apres tu utilises le fait que lim (e(x)-1)/x=1 quand x tend vers 0

    Je sais pas si c'est la démonstration officielle, mais elle me parait correct en tout cas ^^

  4. #3
    Coincoin

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Salut,
    Comment tu montres que (exp(x)-1)/x ->1 sans utiliser la dérivée ?
    Encore une victoire de Canard !

  5. #4
    bof

    Re : Dérivée de la fonction exp

    salut
    il faudrait peut etre que tu nous dise au prealable quel est ton niveau scolaire comme ca on peut te donner des demos qui sont de ton niveau
    si tu es encore au lycee je crois si je me rappelle bien qu ilne tedonne pas de demo sans la serivee de (e(x)-1)/x->1 mais te disent que c est une formule a apprendre comme toutes les autres limites concernant ln et exp
    sinon une demonstration serait d effectuer le developpement limite de exp(x) au voisinage de zero d ecrire apres (exp(x) - 1)/x a l aide du DL et de remarquer que c est egal a 1+... (des termes d ordre superieur ou egal a 1)
    et donc (exp(x) - 1)/x->1 quand ttend vers 0
    ciao

  6. #5
    folky

    Re : Dérivée de la fonction exp

    question piege coincoin ^^
    j'utilise la définition d'exponentielle comme série entiere et ça marche

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    folky

    Re : Dérivée de la fonction exp

    sinon j'ai pensé à ça aussi:
    au lieu de prendre h-->0 on choisit ih--->0 avec i le nombre imaginaire.

    Apres on a que: (e(ih)-1)/ih= [cos(h)+isin(h)-1]/ih---->1 quand h tend vers 0

    Je ne suis pas sur à 100% de la validité de cette deuxieme remarque ceci dit

    Sinon Bof tu peux pas considerer les DL puisque ça fait appele au dérivée et qu'on est sensé pas la connaitre

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  10. #7
    bof

    Re : Dérivée de la fonction exp

    salut folky
    c vrai tu as raison
    je suis pas sur pour ta demo avec les complexes mais j ai une demo que je pense etre bonne
    il suffit de poser t=exp(x)-1 on alors 1+1/t=exp(x) et donc
    x=ln(1+1/t)
    lim(x->0) de (exp(x)-1)/x=lim(t->infini) de 1/(t*ln(1+1/t))

    =lim(t->infini) de 1/ln(1+1/t)^t

    =1/ln(e)=1

    sachant que lim(t->infini) (1+t)^t=e
    voila j espere qu avec cette demo y a pas de probleme
    ciao

  11. #8
    Coincoin

    Re : Dérivée de la fonction exp

    lim(t->infini) (1+t)^t=e
    Montre-le sans faire appel à la notion de dérivée...

    Personnellement, je partirais plutôt sur la définition d'exponenetielle comme la fonction inverse de ln...
    Encore une victoire de Canard !

  12. #9
    dupo

    Re : Dérivée de la fonction exp

    ah,
    je propose une petite remarque !
    g(y)= exp(y) et y=f(x) = ln(x);
    on dérive gof: g'(y)=x....et voilà

  13. #10
    Quinto

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Tout dépend de la définition que l'on se donne de la fonction exponentielle.

    Certains prennent pour définition que y'(x)=y(x) pour tout x et que y(0)=1 admet pour unique solution la fonction exponentielle.

    On peut sinon utiliser le DES de l'exponentielle, je crois que c'est le mieux à faire puisque l'on a ainsi une démonstration sur n'importe quel Banach ...

    Sinon on peut remarquer que exp est la bijection réciproque de ln et là ca coule tout seul...

    Peut etre qu'on peut aussi construire la suite de fonction
    fn(x)=(1+x/n)^n et l'étudier et étudier ses dérivées mais là par contre, je n'en sais rien puisque la convergence de fn vers exp n'est peut etre pas uniforme donc ...

  14. #11
    Sharp

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Salut,
    en fait je suis en première S, mais comme je m'intéresse au maths, j'ai lu des cours de TS, et j'ai pas trouvé de démonstration de (e^x)'=e^x.
    Merci pour vos réponses!
    J'étais bien arrivé à e^x((e^h-1)/h), mais je ne savais pas que (e^h-1)/h -->1, mais apparement ça se démontre à partir de la dérivée (si j'ai bien compris ), donc on tourne en rond...

  15. #12
    dupo

    Re : Dérivée de la fonction exp

    ouais, pour la définition de l'exp , ce qui est bien, c'est qu'ainsi construite, elle sont (devraient) être toute équivalentes pour la cohérence.
    maintenant, quand même, le D.E.S se trouve par la formule de taylor si je ne m'abuse...
    ce que je coirs, c'est qu'historiquement exp est la fonction réciproque de ln, et que pour généraliser, on a pu poser comme définition le DES , comme pour travailler dans les complexes.
    maintenant, on peut partir de la def dans C, et prendre la restriction dans R.
    bof, c'est vrai qu'avec du recul, le DES est beaucoup plus puissant.

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  17. #13
    Quinto

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Je dirais plutot que c'est le contraire:

    y'=y et y(0)=1

    y est développable en série entière et son rayon de convergence est R. (hypothèse)

    y(x)=a0+a1x+a2x²+a3x^3+...+anx ^n+... = somme des anx^n

    y'(x)=a1+2a2x+3a3x²+...+nanx^( n-1)+...= somme des nanx^(n-1)

    on a donc que
    a0=1
    a1=1
    2a2=a1
    3a3=a2
    ...
    nan=a(n-1)

    On trouve facilement à partir de la relation de récurrence la formule souhaitée:
    an=a(n-1)/n
    a(n-1)=a(n-2)/(n-1)
    donc an=a(n-2)/(n*(n-1)) et ainsi de suite on voit que an=a0/n!
    y(x)=somme des x^n/n!

    et là on a tous les coefficients de Taylor... et pas l'inverse...

  18. #14
    dupo

    Re : Dérivée de la fonction exp

    décidément, j'ai du mal à suivre tes raisonnement .
    y est développable en série entière et son rayon de convergence est R. (hypothèse)
    une condition suffisante à ça, c'est donc le théorème qui donne le dvp de taylor !(ie dérivable un certain nombre de fois).
    appliqué à exp qui est de classe infini.
    c'était dans ce sens que je voulais dire "taylor donne DSE".

    et tout à l'heure je regardais si à partir de la def (exp solution d'un certaine eq diff), on pouvais retrouver les propriétés usuelles de l'exp ...cool.
    ça m'intéresserait de voir quelque démo, lien entre ln et exp.

  19. #15
    Quinto

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Attention une fonction C infini n'est pas forcémenent analytique ....

    Ce n'est pas parce qu'elle est Cinfini que son développement en série entière existe ....

  20. #16
    folky

    Re : Dérivée de la fonction exp

    hum si une fonction est holomorphe c'est la meme chose qu'etre analytique non ?
    Sur C c'est vrai, sur R non il me semble

  21. #17
    Quinto

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Il me semble aussi

  22. #18
    dupo

    Re : Dérivée de la fonction exp

    yes, pas de problème...

    sinon, qu'est ce qui nous dit que y(x) est dévellopable en série ?
    y est développable en série entière et son rayon de convergence est R.
    en supposant que y(x)=y'(x) .

    en fait, c'est là que je ne comprends pas.
    1) soit y(x)=y'(x)
    2) supposons qu'elle admette un DSE
    3) alors y(x)=(déf) exp(x)= au DSE que tu as donné.
    mais, tout ça repose sur l'existence d'un DSE.
    ??

    alors qu'effectivement, on prend un compact de R, alors, exp C infini, est DSE sur l'intérieur du compact, et les coef du DSE sont les coef du dvt de taylor;
    (car exp vérifie d'elle même une condition importante ,à savoirqu'il existe M, qui borne supérieurement la valeur absolue des dérivées n ième).
    la preuve se faisant grâce au dev. de taylor.
    ainsi, je pense que le dse de l'exp a été trouvée par la formule de taylor.

    par contre, effectivement, l'hypothèse qu'une fonction est analytique, permet de grande chose.

    sinon pour ma culture ,
    existe t il des théorèmes qui montrent en général l'existence d'un DSE ?

    je connais le théorème que j'ai utilisé juste là, mais qui repose sur le développement de taylor...

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  24. #19
    folky

    Re : Dérivée de la fonction exp

    en fait j'ai vu sur un site que la définition d'exponentielle était la somme infinie des x^k/k! donc la forcément c'est réglé.

    Sur C, si ta fonction est C infinie, alors elle admet un dse

  25. #20
    Quinto

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Oui et attention comme on le disait ce n'est pas vrai sur R.
    Par exemple
    exp(-1/x) prolongée en 0 a ses coefficients de Taylor nuls à tout ordre, et donc la fonction n'est pas analytique.


    "je connais le théorème que j'ai utilisé juste là, mais qui repose sur le développement de taylor..."
    De quel théorème parles tu?

  26. #21
    dupo

    Re : Dérivée de la fonction exp

    voilà le p'tit théo
    " si une fonction est C infini sur l'intervalle ]-r,r[ et s'il existe un réel M tel que :
    pour tout n, et pour tout x dans l'intervalle ,
    on a |dérivée nieme de f en x| inférieure ou égale à M,
    alors la série de taylor de f en zéro converge vers f(x), pour tout x dans l'intervalle."
    et la 2e propriétés, c'est:
    "si le DSE de f existe, il est unique, et est égale à la série entière de taylor de f en 0".


    exp(-1/x) prolongée en 0 a ses coefficients de Taylor nuls à tout ordre, et donc la fonction n'est pas analytique.
    excellent , t'es le roi des contre exemples !
    c'est donc un exemple de fonction C infini, qui n'est pas DSE au voisinage de 0, cool.

  27. #22
    curieux

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Tout dépend de comment tu as défini ta fonction exp

    si tu l'as définie comme l'unique fonction f dérivable sur R, vérifiant f'(x) = f(x) et f(0) = 1, tu n'a rien à faire car exp'(x) = exp(x) par définition. En revanche, il est difficile de prouver l'existence et l'unicité d'un telle fonction. Certains livre de Ts présentent maintenant cette fonction ainsi.

    Si tu l'as définie comme la réciproque de la fonction ln, tu connais sa dérivée grâce à la formule de la dérivée de la réciproque f-1' = 1/f'of-1. la difficulté est alors de connaitre la dérivée de la fonction ln...

    Mais il existe encore d'autre manière de la définir... laquelle as-tu choisie?

  28. #23
    Quinto

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Oui, elle n'est pas analytique.

    Sinon
    alors la série de taylor de f en zéro converge vers f(x), pour tout x dans l'intervalle.
    ne veut pas trop dire grand chose en soit...

    Je dirais plutot
    S converge uniformément vers f sur l'intérieur du disque de convergence (ensemble des x tels que |x|<R) avec S de terme général an=f^(n)(0)/n!*x^n

  29. #24
    Quinto

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Curieux:
    L'existence peut etre facilement donnée par un DES de rayon de convergence non nul ....

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  31. #25
    bof

    Re : Dérivée de la fonction exp

    salut
    y a un truc que je ne comprend pas avec vos DES et tout ca
    alors d une part vous supposez que y'=y et vous utilisez les DES alors que nous on cherche a demontrer que y'=y pour exp
    d autre part vous ne voulez pas utiliser les derivees alors que le DES lui meme est defini a partir des deriveees successives de exp calculees en zero
    d accord la maniere de calculer les coeff n est pas la meme mais tjrs est il que la formule est donnees avec les derivees
    si qq peut m expliquer ce qui est genant dans la demo que j ai donne avec les chgt de variable ce serait gentil
    merci
    ciao

  32. #26
    Quinto

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Bein si tu as lu ce que j'ai fait, justement non, le DES n'est pas défini par les dérivées, mais c'est l'inverse, les dérivées successives en 0 sont définies par le nième coefficient multiplié par n! (ce qui vaut 1 à chaque fois dans ce cas précis)

  33. #27
    dupo

    Re : Dérivée de la fonction exp

    mais, je crois que finalement, il n'y a pas à chipoter, parce que:
    1) si on trouve un DES qui ne diverge pas ,alors, il est égale à une série de taylor.
    2) si on trouve que la série de taylor converge, alors on a trouvé un DES.
    et comment trouver un DEs?
    quinto a donné une méthode.

    comment trouvé une série de taylor?
    puisque y'(x)=y(x) alors y''(x)=d(y'(x))/dx =y'(x)=y(x)....etc....
    et les dérivées successives existent.
    et puisque y(0)=1, alors toutes les dérivées successives valent aussi 1.
    et puisqu'il existe une solution à y'(x)=y(x), cette solution étant dans le pire des cas locale, alors y continue puisque dérivable, sera borné ainsi que toute ses dérivées(qui sont égales à la fonction initiale)
    alors il existe un dvp de taylor convergent...

    ...je sais pas vous, mais moi...
    mais ça me rassure, de voir que tout ça reste cohérent.

  34. #28
    dupo

    Re : Dérivée de la fonction exp

    y continue puisque dérivable, sera borné
    ah, c'est pas comme ça que j'aurais du dire...

    mais f(boule ouverte) inclus dans f(adhérence de cette boule) qui est fermé borné de R puisque f continue.
    voilà, je crois que ça marche.

  35. #29
    bof

    Re : Dérivée de la fonction exp

    puet etre a tu raison pour le pb des derivees mais toujours est il ue vous partez du fait que y'=y alors que c est ce qu on cherche a trouver

  36. #30
    curieux

    Re : Dérivée de la fonction exp

    Citation Envoyé par bof
    puet etre a tu raison pour le pb des derivees mais toujours est il ue vous partez du fait que y'=y alors que c est ce qu on cherche a trouver
    Donne nous TA définition de la fonction exponentielle, et on partira de celle la pour te calculer la dérivée.
    mais pour toi qu'est-ce que la fonction exponentielle?

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