Preuve de monotonie sans recours à la dérivée

invite3efb27a3 · 01/01/2010, 20h54

Pouvez-vous m'éclaircir sur une façon de prouver la monotonie de la fonction f définie par: f (x) = ((x+1)/(x-1))(ln(x)/2) sur chacun des intervalles ]0,1[ et ]1,+infini[ sans recours à la dérivée.Merci.

**ichigo01** · 01/01/2010, 21h05

Salut !

Tu peux montrer que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ( si f était croissante par exemple

)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ ... ( Sachant que ln est une fonction croissante )

Cordialement !

invite57a1e779 · 01/01/2010, 21h10

On a $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ ... et en continuant de manipuler les inégalités, on obtient facilement le sens de variation de f sur ]0;1[.

La même méthode fonctionne peut-être sur le second intervalle.

**ichigo01** · 01/01/2010, 21h13

Bien sur il faut travailler dans chaque intervalle séparément !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 01/01/2010, 21h20

En fait, j'ai l'impression que les inégalités que l'on obtient ne permettent pas de conclure facilement.

invite3efb27a3 · 02/01/2010, 20h24

Merci de l'intérét apporté à mon message.je tire votre attention que la fonction x------(x+1)/(x-1) est décroissante sur les intervalles ]0,1[ et ]1,+infini[ tandis que la fonction ln y'est croissante,ce qui laisse la manipulation des inégalités difficile voire impossible.

invite3efb27a3 · 02/01/2010, 20h28

j'ai pensé à utiliser le fait qu'une fonction continue et injective sur un intervalle y'est monotone,mais je ne vois pas comment?

Preuve de monotonie sans recours à la dérivée

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Re : preuve de monotonie sans recours à la dérivée

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