Formule - Nombres premiers

[Fabchat]

Bonjour.

J'ai trouvé une formule pour déduire tout les nombres premiers et je voulais avoir vos avis dessus, svp.
je voulais savoir aussi si elle n'a pas déjà était étudiée.
Et sinon, je bloque sur un problème...

Je vous l'expose :

Formule

+ 1 ÷ 9 + 1 ÷ 99 + 1 ÷ 999 - 0.011
+ 1 ÷ (10^5-1) - (1÷10^5)
+ 1 ÷ (10^7-1) - (1÷10^7) + 1 ÷ (10^11-1) - (1÷10^11)
+ 1 ÷ (10^13-1) - (1÷10^13) + 1 ÷ (10^17-1) - (1÷10^17)
+ 1 ÷ (10^19-1) - (1÷10^19) + 1 ÷ (10^23-1) - (1÷10^23)
=
0,
111 213 122 313 133 213 133 313 232 314 123 333 133 314

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41

133 313 233 313 333 214 123 234 133 413 123 334 132 214

43 47 53 59 61 67 71 73 79 83

322 314 332 233 133 314 134 213 142 314 323 234 222 224

89 97 101 103 107 109 113

122 414 323 314 142 233 223 214 133 424 122 333 124 214

127 131 137 139 149 151 157 163 167

243 213 332 214 142 323 323 413 124 314 132 224 223 335

173 179 181 191 193 197 199

122 223 222 433 133 214 144 214 222 414 132 233 322 314

211 223 227 229 233 239 241 251

324 213 242 214 242 214 134 234 122 413 124 423 232 214

257 263 269 271 277 281 283 293

223 234 222 324 142 314 124 213 232 433 322 225 122 224

307 311 313 317 331

132 424 224 213 143 313 224 214 223 423 132 323 143 224

337 347 349 353 359 367 373

142 213 422 215 332 224 124 313 223 324 132 224 232 415

379 383 389 397 401 409 419

122 233 224 313 133 233 143 413 222 314 222 244 123 415

421 431 433 439 443 449 457 461

123 214 232 223 342 214 224 323 122 413 244 223 13...

463 467 479 487 491 499

Explication.

Dans la séquence, tout les 1 sont relatifs à des nombres premiers, sauf le premier 1 après la virgule.
Ils donnent tout les écarts et les emplacements exacte de tout les premiers.

Dans le polynôme, les séries de 9 sont relatives aux multiples :
1 ÷ ... 9 = x1 , 99 = x2 , 999 = x3 , etc.

Plus vous chercherez des grands nombres et plus il vous faudra faire d'opérations en ajoutant de plus en plus de 9 à vos divisions pour éliminer les 1 relatifs aux nombres non premiers en les additionnant à d'autres 1 pour qu'ils donnent d'autres chiffres et de ne laisser apparaitre que des 1 relatifs premiers.

Les soustractions permettent de redonner le 1 relatif premier du multiple concerné qui, par addition, a était remplacé par un 2.

Dans une soustraction de 0,0...1, la quantité de 0 après la virgule correspond à la quantité de 9 que vous avez utilisé pour faire vos divisions.
Sauf pour la première soustraction de 0,011 qu'il faut effectuer seulement après les 3 premières additions.

Quand vous observez que certains nombres de la séquence deviennent trop grands, il faut pratiquer un nettoyage par soustraction des multiples, c'est asses délicat...

Et justement c'est là où je bloque car je n'ai pas trouvé de solution pour la nettoyer sans faire des petits débordements.
J'ai essayé en faisant des soustractions du genre... - 1 / (10^5-1) , mais cela redonne des 1 à certains endroits où il ne devrait pas y en avoir.

J'ai arrêté la séquence à 500 décimales mais comme j'ai était jusqu'au multiple de 23, l’opération est efficace au moins jusqu'à 23², voir plus.
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Il semblerait que nous ne soyons pas d'accord sur les termes... je ne vois aucune formule dans votre message, uniquement des calculs...

[Fabchat]

Ah, oui, d'accord... Je considérai ça comme une formule...
Bon, ok, mais je ne peut plus le modifier ça...
Les modérateurs ont limiter le temps de modifs des com à 5 minutes seulement.

[Liet Kynes]

Cela a l'air correct du point de vue de la position des 1 et le premier 1 après la virgule peux être pris pour un premier dans le sens où il s'agit d'une convention.

Après c'est pas très explicite :

"Plus vous chercherez des grands nombres et plus il vous faudra faire d'opérations en ajoutant de plus en plus de 9 à vos divisions pour éliminer les 1 relatifs aux nombres non premiers en les additionnant à d'autres 1 pour qu'ils donnent d'autres chiffres et de ne laisser apparaitre que des 1 relatifs premiers."

Il y a une partie : 1 ÷ 9 + 1 ÷ 99 + 1 ÷ 999 - 0.011 et une partie qui utilise les nombres premiers ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Fabchat]

Il y a une partie : 1 ÷ 9 + 1 ÷ 99 + 1 ÷ 999 - 0.011 et une partie qui utilise les nombres premiers ?

Liet Kynes Non, pas vraiment... Pour 1 ÷ 9 + 1 ÷ 99 + 1 ÷ 999 - 0.011, les 9 sont relatifs aux multiples de 1, 2 et 3. Et, - 0,011, c'est pour replacer, par soustraction, les 1 relatifs à 2 et 3.

Tu peut faire l'opération avec tout les multiples relatifs à 1.2.3.4.5.6.7... Etc, si tu veut, du genre, 1/9 + 1/99 + 1/999 + 1/9999 + 1/99999 + 1/999999... Etc.
ça marchera pareil, sauf que les chiffres relatifs aux non premiers de la séquence gonfleront plus vite. C'est le problème...

C'est pour ça qu'il vaut mieux utiliser directement les divisions par des nombres premiers seulement pour éviter d'encombrer la séquence de chiffres trop grands et aussi pour éviter de faire des opérations inutiles.

Tu me dira qu'on est pas sensé connaître les nombres premiers dans ce contexte puisque l'on cherche justement à les découvrir...
Mais si justement, puisqu'on est sensé les découvrir au fur et à mesure que l'on développe la séquence.

Ai-je répondu à ta question ?

[Liet Kynes]

C'est pas très compréhensible, tu as surement une régle de construction de ton opération ?

La partie
+ 1 ÷ (10^5-1) - (1÷10^5)
+ 1 ÷ (10^7-1) - (1÷10^7) + 1 ÷ (10^11-1) - (1÷10^11)
+ 1 ÷ (10^13-1) - (1÷10^13) + 1 ÷ (10^17-1) - (1÷10^17)
+ 1 ÷ (10^19-1) - (1÷10^19) + 1 ÷ (10^23-1) - (1÷10^23)

Si je ne m'abuse sont intégrés les nombres premiers mais tu dis que si tu prends les entiers à la place tu obtiens la même chose?

[Fabchat]

Oui. Regarde...

1÷9+1÷99+1÷999+1÷9999+1÷99999+ 1÷999999+1÷9999999−0.0110101 =

0.1113141323151333141432152224 151322351224151332152323142422 16123324
132415123324142216222315232225 132414134215132414232226122325 13231522
331415221522331513232512242413 321613231433221613232413331512 341414

[Liet Kynes]

Ok j'ai pigé sur quoi tu te base, je trouve cela bien pensé.

Si tu fais un tableau à double entrée qui marque les diviseurs des nombres par un 1:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Tu fais les sommes en colonne tu obtiens le nombre de diviseurs. Si tu ôtes 2 à ces sommes, tu obtiens 0 pour les nombres premiers.
Ce que tu fais c'est de remplacer les lignes du tableau par les fractions 1/9, 1/99 etc.

Puis quand tu additionnes tes fractions, tu obtiens un nombre dont les décimales sont les sommes en colonne décrites ci-dessus donc tu peux faire :

(1/9+1/99+1/999...)-(1/50+1/500+1/5000...)

L'ordre des zéros dans la suite décimale obtenue marqueront l'ordre des nombres premiers

[Fabchat]

Ok j'ai pigé sur quoi tu te base, je trouve cela bien pensé.

Merci, ça fait plaisir.

Si tu fais un tableau à double entrée qui marque les diviseurs des nombres par un 1:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Voilà, c'est exactement ça !

En fait, c'est exactement la même chose que le tableau que j'avais présenté précédemment sur une autre discutions de ce site. Tu t'en souviens peut-être...

https://www.youtube.com/watch?v=NBUAYR38Qmc

Mais sous forme de fractions. Ce qui donne une ampleur infinie !

Puis quand tu additionnes tes fractions, tu obtiens un nombre dont les décimales sont les sommes en colonne décrites ci-dessus donc tu peux faire :

(1/9+1/99+1/999...)-(1/50+1/500+1/5000...)

Alors, ça, tu peut le simplifier en faisant directement,
−2÷9 = -0.2222222222222222222222222222 2222222222222222...

[Liet Kynes]

Il y a un un intru 7ème ligne dernière colonne du tableau

J'ai mis ton truc sur tableur, dis moi si cela colle avec ton idée:

[Fabchat]

Oui, je l'ai trouvé... C'est un multiple 7, il devrais normalement se trouver dans la 14ème colonne.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Heu... Je n'arrive pas à ouvrir ton ficher sur mon PC...

[Liet Kynes]

Télécharges libreoffice , sinon je te le met en format excel:

[Liet Kynes]

Après tu peux faire plus simple:

1÷9+1÷99+1÷999+1÷9999+1÷99999+ 1÷999999+1÷9999999=0.122324232315133314143215222415132235122 4151332152323142422161233..

Les deux sont les nombres premiers pour la partie en rouge comme c'est un nombre périodique tu ne peux pas avoir toutes les positions des nombres premiers sauf à répéter à l'infini l'opération.

Du coup tu conviendras peut-être que c'est surement plus rapide de diviser un nombre par ses prédécesseurs pour déterminer sa primalité, ou d'utiliser un crible.

[albanxiii]

Bon, ok, mais je ne peut plus le modifier ça...

Pas de soucis, vous avez clarifié.

[Fabchat]

Après tu peux faire plus simple:

1÷9+1÷99+1÷999+1÷9999+1÷99999+ 1÷999999+1÷9999999=0.122324232 315133314143215222415132235122 4151332152323142422161233..

Les deux sont les nombres premiers pour la partie en rouge comme c'est un nombre périodique tu ne peux pas avoir toutes les positions des nombres premiers sauf à répéter à l'infini l'opération.

Oui, les premiers 2 correspondent à des premiers, c'est le 2, le 3, le 5 et le 7.
C'est normale puisque tu n'a fait aucune soustractions.
Comme je vois que tu à était jusqu'à 1/9999999, Il faut faire - 0,0110101 pour remplacer les 2 par des 1.

Bien sûr que si, tu peut avoir toute les positions des premiers.
Parce-que c'est périodique, serte, mais la période est proportionnelle au nombres d'opérations que tu effectue.
Plus tu effectuera d'opérations, et plus ta période s’agrandira.

Si je pose toute mes opérations, par exemple, jusqu'à 1/(10^100-1), c'est à dire, 1/999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999 9999999999, c'est cent fois le chiffre 9, ça fait beaucoup de 9, mais ça correspond juste au multiple de 100.
Donc, ma séquence donnera tout les 1 relatifs premiers jusqu'à environ 100², c'est à dire, au moins, jusqu'à 10 000 décimales.

Du coup tu conviendras peut-être que c'est surement plus rapide de diviser un nombre par ses prédécesseurs pour déterminer sa primalité, ou d'utiliser un crible.

Alors, justement... à ton avis, est-ce que c'est plus simple de trouver tout les nombres premiers avec un crible plutôt qu'avec la séquence ?

Parce-qu'avec le crible, tu vas devoir chercher les nombres... puis les tester un à un, sachant qu'ils ne seront pas forcément premiers...
Alors qu'avec la séquence, tu aura, déjà exactement toutes leurs positions... Tu n'aura plus qu'à les compter, c'est tout.

[Fabchat]

Du coup tu conviendras peut-être que c'est surement plus rapide de diviser un nombre par ses prédécesseurs pour déterminer sa primalité, ou d'utiliser un crible.

Ok, je vois ce que tu veut dire... C'est ce que j'étais en train de cogiter...
Au final, ce que j'ai fait, c'est déjà comme une sorte de crible mais à l'envers quoi...
Sauf qu'au final, ça vas prendre encore plus de temps à faire les opérations pour calculer les premiers.

Donc, c'est toi qui a raison. Alright !

Du coup, je me suis cassé le ... pour rien !... Dommage !

[Paraboloide_Hyperbolique]

Donc, c'est toi qui a raison. Alright !

Du coup, je me suis cassé le ... pour rien !... Dommage !

Pas tout à fait: vous avez appris quelque chose: que cette approche ne fonctionne pas (bien). De plus, vous venez de faire bien plus de chemin que d'autres posteurs sur le même thème qui, eux, pensent mordicus qu'ils ont trouvé le graal.

Pour aller plus et si le sujet vous intéresse, vous pouvez jeter un coup d'oeil sur le petit théorème de Fermat, ainsi que sur les dernières avancées en la matière (notamment les travaux de Terence Tao et la médaille Fields 2022*).

*Attention: c'est du costaud.

[Liet Kynes]

au plus simple c'est comme si tu faisais les additions:

1=1
11+1=12
111+10+1=122
1111+101+10+1=1423

etc..

ce qui correspond à cela: http://oeis.org/search?q=1%2C12%2C12...ch&go=Chercher

[Fabchat]

Pas tout à fait: vous avez appris quelque chose: que cette approche ne fonctionne pas (bien). De plus, vous venez de faire bien plus de chemin que d'autres posteurs sur le même thème qui, eux, pensent mordicus qu'ils ont trouvé le graal.

Oui, c'est pas faux, j'aurais au moins compris ça et oui, au final, j'ai appris pas mal avec ça...
Merci Paraboloide_Hyperbolique, ça me remonte un peut le moral.

Après, heureusement, je ne m'était pas strictement projeté dans cette recherche, j'étais en train de faire une autre type d'analyse dans les fractions...
Et puis, je suis tombé sur cette "trouvaille" par hasard, et je me suis un peut emballé dessus quoi...

au plus simple c'est comme si tu faisais les additions:

1=1
11+1=12
111+10+1=122
1111+101+10+1=1423

etc..

ce qui correspond à cela: http://oeis.org/search?q=1%2C12%2C12...ch&go=Chercher

Liet Kynes Ah oui, effectivement, au final, j'ai fait compliqué pour rien

[Fabchat]

Pour aller plus et si le sujet vous intéresse, vous pouvez jeter un coup d'oeil sur le petit théorème de Fermat, ainsi que sur les dernières avancées en la matière (notamment les travaux de Terence Tao et la médaille Fields 2022*).

J'avais déjà jeté un œil sur le théorème de Fermat.
Par contre Terence Tao, c'est du monstros !

[Fabchat]

Il y un autre problème qui m'intrigue...
Pourquoi ne peut-on pas obtenir par fraction 0,999999999... Sur calculette ?

Par exemple, si je fait 1/9 = 0,1111111111111... mais si je multiplie 0,1111111111111.. par 9 sur la calculette, j'obtiens 1, alors que normalement, elle devrais afficher 0,99999999999... Pourquoi ?

[Liet Kynes]

1/2=0,5 et 0,5*2=1
1/3=0,333... et 0,333...*3=1
1/4=0,25 et 0,25*4=1
etc..
1/9=0,111... et 0,111...*9=1

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Mathématiquement, les nombres notés 0.99999999999... et 1 représentent la même valeur: l'unité. Pour ce qui est des calculettes il faut se méfier: elles travaillent avec une précision finie (comprendre avec un nombre fini de décimales). Cela donne lieu à toute sorte de problèmes (erreurs d'arrondis, accumulation d'erreurs, problèmes de conditionnements, instabilités numériques...)

Par exemple, sur la mienne, j'ai 0.1111111111111111*9 = 1 (alors qu'il que cela vaut 0.9999999999999999) et 0.111111111111111*9 = 0.9999999999999988897769753748 434595763683 (j'ai retiré un '1').

Autre exemple: calculer la série sur une calculette donnera une mauvaise réponse. (La bonne est que cette série, connue sous le nom de série harmonique, diverge)

Si cela vous intéresse, il y a la un excellent résumé sur les représentations en virgule flottante et leurs pièges ici: https://docs.oracle.com/cd/E19957-01..._goldberg.html

[Fabchat]

Liet Kynes. Oui, tout à fait, c'est logique mais, ce que je veut dire, c'est, par ex, que 0,99999999... C'est pas tout à fait 1, il manque 0,0000000... avec un 1 au bout, que la calculette ne peut pas représenter, bien sûr, puisque c'est infini. Mais elle le garde en retenue.

Paraboloide_Hyperbolique. Ah oui, c'est important de savoir ça quand on fait du calcules précis... Je vais jeter un œil sur la série harmonique, parce-que ça, c'est très intéressant... Et sur les représentations en virgule flottante et leurs pièges... Merci beaucoup !

[Liet Kynes]

0,99999999... C'est pas tout à fait 1, il manque 0,0000000... avec un 1 au bout, que la calculette ne peut pas représenter, bien sûr, puisque c'est infini. Mais elle le garde en retenue.

Bonne lecture;

https://www.google.com/search?q=1+su...rQIoBHoECAUQBQ

[Liet Kynes]

La démonstration ci dessous:

Pourquoi 0,999...=1 ?

La première chose à faire est de donner du sens à l'expression 0,999... Nous savons que la représentation décimale d'un nombre est une écriture positionnelle additive. Par exemple

Ainsi on aurait

Mais comment peut-on additionner une infinité de termes ? Pour celà, nous avons besoin des concepts fondamentaux que sont les suites et leurs limites. Une suite numérique est simplement une collection numérotée de nombres

Pour notre exemple la suite à étudier sera :



Venons à la notion de limite et considérons à titre d'exemple la suite

De toute évidence les termes de sont de plus en plus petits, c'est-à-dire qu'ils se rapprochent de 0 à mesure que le rang augmente : la suite est ainsi dite convergente de limite 0. On note :

La notion de limite permet ainsi de s'intéresser au comportement au voisinage de l'infini : on approche l'infini par le fini et c'est le seul moyen.

Revenons à notre suite : par définition on aura donc

Voyons comment calculer cette limite en formant la différence :



On obtient donc :

Or d'une part



et d'autre part la suite



converge vers 0, si bien qu'en passant à la limite l'égalité (2) on obtient :



soit

En combinant les égalités (1) et (3), on a donc bien démontré que 0,999...=1.


Quelques discussions en rapport avec le sujet :

• peut-on démontrer que...
• ∞ !
• 4.9999...=5 ?
• Pourquoi 9,99...=10

Remarques

- Les suites mentionnées ci-dessus sont des cas particuliers de (sommes partielles de) suites géométriques, étudiées au lycée.

- La plupart des suites ne sont pas convergentes : , , , etc.

- La définition rigoureuse de la limite d'une suite dans le cadre d'un espace métrique (comme l'ensemble des nombres réels par exemple) repose sur le fait qu'à partir d'un certain rang, la distance entre les termes de la suite et sa limite éventuelle doit être moindre que toute quantité strictement positive donnée à l'avance.

Définition : soit une suite numérique et un nombre strictement positif (aussi petit que l'on veut). S'il existe un nombre L et un entier N tels que pour tous les nombres entiers n supérieurs à N, la distance entre les termes et L est plus petite que , alors la suite est dite convergente de limite L. Dans ce cas (et uniquement dans ce cas), on note : .

- La convergence d'une suite ne fait appel en réalité qu'à des notions topologiques : une suite converge vers un point si pour tout ouvert U contenant , il existe un rang N à partir duquel tous les termes appartiennent à U. Attention toutefois, une suite peut avoir plusieurs limites dans des espaces non-séparés.

[Fabchat]

Liet Kynes Inutile de faire tout ces calcules pour démontrer que 0,333333333... = 1/3. C'est juste un question de représentation par des chiffres, c'est tout.

[gg0]

C'est justement parce que tu ne fais pas ces calculs que tu ne peux pas comprendre. Sans compter tes affirmations irréfléchies comme "0,0000000... avec un 1 au bout" alors que justement il n'y a pas de bout.
Les maths sont assez simples à apprendre, dès que la volonté est là. Encore faut-il avoir l'envie de le faire; et pas de se comporter comme celui qui veut traverser la Manche à la nage mais n'apprend pas à nager.

Cordialement.

[Fabchat]

C'est justement parce que tu ne fais pas ces calculs que tu ne peux pas comprendre.

Pas comprendre quoi ?

[Fabchat]

Sans compter tes affirmations irréfléchies comme "0,0000000... avec un 1 au bout" alors que justement il n'y a pas de bout.

Je pige pas là !... Pourtant, si tu fait, 8/9 tu obtiens bien 0,88888888888... Donc, ça signifie que de 0,888888888... pour aller à 1 il manque, 0,000000000 ... infiniment de 0 et un 2 au bout...