Topologie sur E

[Alphasaft]

Bonjour,

Je me suis intéressé depuis quelques temps à la topologie (d'autant plus que c'est un des domaines où j'ai le plus de difficultés), et j'ai donc lu un PDF de cours sur ce sujet.
On me dit qu'une topologie sur E est un ensemble O de parties de E (les ouverts) satisfaisant un certain nombre d'axiomes.
De là on définit des concepts essentiels comme la continuité, les limites, etc.

Le problème vient du fait que j'ai besoin de me représenter mentalement la chose (sur des espaces simples, comme R2 ou R3, ça me suffit pour généraliser sur des espaces plus... étranges) pour comprendre et réussir mieux les exercices.
Et là, ça coince. Je n'arrive pas à comprendre ces 3 points :

* Je ne comprends pas le sens des ouverts ; je vois bien qu'en prenant cette définition et la topologie usuelle de R on obtient les résultats habituels, et je me doute que les axiomes
qui leur sont imposés ne sortent pas du chapeau, mais je n'arrive juste pas à voir ce que représente au juste un ouvert. A titre d'exemple une norme ou une distance, c'est clair, et je pense
que même si leur nom était moins intuitif j'arriverais au bout du compte à comprendre, mais un ouvert ?

* Pourquoi diable une fonction continue en tout point c'est une fonction dont l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert ? (Je suppose que ce point vient avec le premier)

* A quoi servent les voisinages ? De tout ce que j'ai vu on peut remplacer "voisinage" par "ouvert" (je n'ai pas écrit de démo, et j'en serais incapable, mais il me
semble) : pour la continuité la notion de voisinage n'intervient pas et pour la limite, ouvert ou voisinage ça ne change manifestement rien.

En écrivant ce message, je me rends compte qu'il est possible que la notion de "voisinage" soit celle intuitive et qui "corresponde à quelque chose", quand les ouverts sont une formalisation plus compacte, desquels se déduisent les voisinages (et inversement). Ceci expliquerait que les ouverts et les voisinages soient interchangeables, ainsi que les axiomes plus abstraits régissant les ouverts. Dites-moi si j'ai bon

Je n'ai pas besoin qu'on me donne les définitions ou qu'on me montre qu'elles fonctionnent (encore heureux que ça marche, vu à quel point c'est compliqué), plutôt qu'on m'explique à quoi elles correspondent.

Un grand merci pour avoir lu !

(Et pardon pour les retours à la ligne intempestifs que je n'arrive pas à supprimer)
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[gg0]

Bonjour Alphasaft.

Les ouverts représentent simplement ... les ouverts. Dans le sens classique de la notion de limite où plus l'ouvert contenant x est petit (au sens de l'inclusion) plus on est proche de x. En fait, en retirant des notions topologiques de base tout ce qui est particulier aux ensembles classiques, on aboutit à cette formalisation.
La notion de voisinage sert aussi à dire "à proximité", ce qui fait qu'on peut définir aussi bien par les ouverts que par les voisinages (c'est une autre axiomatisation de la notion de topologie :
* Si on base sur les ouverts, un voisinage de x est une partie de E contenant un ouvert qui contient x
* Si on se base sur les voisinages, les ouverts sont les parties qui sont voisinages de chacun de leurs éléments.

Pour la définition de la continuité, c'est celle que tu utilisais déjà, ramenée à son fondement : Les intervalles ouverts étant des voisinages, tu disais déjà, dans la définition de la continuité en x que l'image réciproque d'un ouvert ]f(x)-eps,f(x)+eps[ est un voisinage de x. Je t'invite à prouver que pour les fonctions numériques continues, il est vrai que l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert.
Sauf qu'on apprend d'abord la continuité locale et qu'en topologie, on parle d'une continuité globale.

Si tu as déjà étudié les espaces métriques, tu peux faire aussi le lien. On en reparlera.

Cordialement.

NB : L'intérêt de la notion générale est qu'elle permet de parler de notions topologiques dans des situations très différentes de ce dont on a l'habitude. Par exemple des suites qui tendent vers a tout en tendant vers un b différent de a.

[Alphasaft]

C'est plus clair maintenant

Merci pour l'explication !

Je crois voir le cas d'une suite avec deux limites distinctes que vous mentionnez : c'est un espace non séparé, non ? Ce qui n'aide pas à éclaircir les idées, au vu de la non-intuitivité de la chose... Mais bon, on va faire avec

[gg0]

Oui c'est bien ça.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Bonjour,

Pour rendre la non-séparabilité plus intuitive, un petit exemple : tu prends deux copies de la droite réelle

[GBZM]

Zut, ma connexion s'est coupée avant que je puisse augmenter mon message. Je le ferai en cas de demande.