Je pense avoir une véritable preuve de l'hypothèse de Riemann

[Gui102]

Bonjour à tous!

Oui le titre est possiblement provocateur et oui, je ne suis qu'un amateur neuneu de plus avec des prétentions qui dépassent l'entendement.
Toujours est-il que mon statut d'amateur me vaut une difficulté sans nom lorsqu'il s'agit de réussir à faire lire ma preuve car bien entendu, personne n'a de temps à accorder à un neuneu Néanmoins je trouve cet argument très joli et je le pense vrai.

Trèves de blabla et passons à mon argument: considérons l'identité (1) où désigne le produit de n'importes quel nombres premiers distinct et où désigne la fonction de Möbius qui vaut lorsque n est le produit d'un nombre pair de nombres premiers distincts, lorsque n est le produit d'un nombre impair de nombres premiers distincts et 0 sinon.

On appel maintenant le produit des n premiers nombres premiers distincts : et on introduit la fonction de mertens .

L'identité (1) nous dit que si l'on somme uniquement les diviseurs de k, alors on aura un nombre de et parfaitement égaux. Bien sûr, cela ne suffit pas à conclure que
car on manque un tas de nombres premiers et de produits de nombres premiers .

Mais là où les choses deviennent vraiment intéressante c'est qu'il existe une façon de borner les possibilités restante. Commençons par le cas des produits de nombres premiers . Il est d'abord très important de remarquer que, pour que la condition "être plus petit que " soit vérifiée, au moins l'un des membres de ce produit doit vérifier . Ce qui signifie que, à une constante près, le nombres de possibilités de produits de nombres premiers est lui même borné par .

Le même argument vaut pour les produits de nombres premiers : l'un des éléments p doit vérifier , à une constante multiplicative près, car il est possible que les produits de n nombres premiers en question puissent posséder jusqu'à n-1 nombres p vérifiant la condition précédente. Mais cette constante ne dépendant que de n et la croissance dépendant de k, elle n'a que peu d'influence sur la croissance globale de .

En répétant ce processus pour chaque produit de longueur n, on trouve : avec une constante réelle et les précédemment évoqués.

Bien sûr, ce que l'on a fait, c'est une sorte de cribles qui nous a donné une borne pour tout les produits mais il nous reste les nombres premiers. Heureusement, les nombres premiers n'influencent pas cette borne. On va montrer ça en prenant le pire cas possible : tout les nombres premiers exceptés 2 étant impair, le pire que l'on puisse avoir serait que pour , nombres soient premiers. Mais puisque n'est qu'une suite de et , si la moitié de ces et est bornée, alors l'autre moitié ne pourras pas être supérieur à la partie bornée. Donc les nombres premiers ne peuvent influencer que la constante devant la borne.

Le membre de droite de la dernière équation étant , l'hypothèse de Riemann est alors vraie.

Je remercie d'avance quiconque prendra du temps pour voir que cet argument est parfaitement valable ou pour éventuellement pointé le pourquoi il ne l'est pas, toute progression possible est bonne à prendre pour moi.
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[MissJenny]

Mais là où les choses deviennent vraiment intéressante c'est qu'il existe une façon de borner les possibilités restante. Commençons par le cas des produits de nombres premiers . Il est d'abord très important de remarquer que, pour que la condition "être plus petit que " soit vérifiée, au moins l'un des membres de ce produit doit vérifier . Ce qui signifie que, à une constante près, le nombres de possibilités de produits de nombres premiers est lui même borné par .

si je comprends bien ce que tu appelles "possibilités restantes" tu veux parler des nombres <=k mais qui ne divisent pas k, c'est bien ça?.

Le problème que je vois dans ton raisonnement, c'est que pour chaque nombre premier p plus petit que la racine carrée de k, il y a plusieurs nombres premiers q tels que pq <= k. Donc, même s'il y a de l'ordre de k^{1/2} nombres p, il peut y avoir beaucoup plus de produits pq.

[Gui102]

Merci pour ta réponse ! C'est bien le cas mais en fait, le fait qu'il y ait plusieurs produits n'est pas un problème. Ce nombre dépend alors d'une constante car il n'est que l'expression du nombres d'arrangements possibles sous la condition évoquée. Ce nombre est fixe pour chaque produit de longueur n et la croissance ne dépend alors que de K. Je ne sais pas si l'idée est claire ? Le fait que chaque combinaison doivent avoir au moins un membre vérifiant la condition et au plus n-1 membres la vérifiant, le nombres de possibilités est alors complètement déterminé par le nombres de nombres premiers vérifiant cette condition. Le reste n'est qu'un facteur de nature combinatoire.

[MissJenny]

Le nombre dépend de k mais du coup on n'est plus en k^{1/2}, ou bien?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gui102]

Si mais à une constante multiplicative c_n près, qui ne dépend que de n et qui n'influence pas la croissance asymptotique de la borne que j'ai proposé.

En faite savoir que tu dois avoir au moins un nombre <k^(1/n) te permet de traquer les possibilités et de montrer que le facteur qui différencie la borne précédente est une constante de nature combinatoire (qui donne les possibilités d'arrangement des p étant donné la condition "au moins un p<k^(1/n) et au maximum n-1 p vérifiant une telle borne".

[MissJenny]

il y a une bijection entre n et k (si j'ai bien compris) donc dire que la constante dépend de n et non de k me paraît faux.

[Gui102]

La constante devant k est fixe. K augmente et te dit grosso modo combien de nombres peuvent vérifier ta condition. La constante c'est simplement pour les possibilités d'arrangements et elle dépend uniquement de la taille de n, le nombres d'éléments lui dépends de k.

[MissJenny]

n croît très lentement avec k (beaucoup moins vite que k^{1/2}). Mais quid de cn ?

[Gui102]

C_n est fixe. Par exemple, le nombre d'arrangements possibles en 2 éléments dépends uniquement de combien d'éléments tu possèdes au départ. La condition donnée met une limite sur le nombres d'éléments possible.
Donc ta constante C_n peut être bornée sans problème et restera de toute façon une constante. Le vrai comportement asymptotique de M(k) dépend de k uniquement.

[MissJenny]

Donc ta constante C_n peut être bornée sans problème

cet argument est insuffisant. Il faut que tu écrives ladite borne.

[Gui102]

Par ex le nombre de combinaisons possibles d'un ensemble à k éléments en ensemble de taille n est <n!.

Donc ta constante est forcément bornée par cette valeur également. Encore une fois, chaque n étant fixé, la croissance ne dépend alors plus que de la condition sur k.

[Gui102]

Notez que la borne <n! est évidemment grossière et pourrait très certainement être affinée avec les bonnes méthodes. Pour la constance c devant la borne, mon argument sur le nombres de premiers dans un intervalle de longueur k montre qu'une telle constante doit être <2.

[MissJenny]

en fait je n'avais pas compris. On ne parle pas du même "n". Dans le début de ton raisonnement tu dis que k est le produit des n premiers nombres premiers. Puis tu utilises n avec une autre signification. Je crois que ta démonstration gagnerait en clarté si tu faisais attention à ce genre de détail.

[Gui102]

K est défini comme le produit des n premiers nombres premiers consécutifs. Mais encore une fois c'est juste une longueur. On peut borner chaque nombres de possibilités pour chaque ensemble de longueur n qui représente les produits de premiers qu'on a raté.

Evidemment, étant non pro, la rigueur et la clarté ne sont peut-être pas dans mes points forts mais je crois dur comme fer à cet argument.

[Gui102]

J'ajoute que je ne me suis jamais essayé au périlleux exercice qu'est la publication. En tant que mathématicien amateur, un tel forum est plus ou moins mon seul espoir d'être lu par des gens qui s'y connaissent vraiment et peuvent mettre mes idées à contributions, comme Miss Jenny l'a très bien fait avant.

[Gui102]

D'ailleurs qui ne tente rien n'a rien : si quelqu'un trouve que ma démonstration a du sens, je serais ravis d'être aidé dans le processus de publication.

[gg0]

Bonjour Gui102.

J'ai regardé ta discussion avec MissJenny, elle est assez décevante, faute d'une rédaction claire de ta "preuve". Il n'y a pas besoin d'être mathématicien professionnel pour rédiger une preuve sérieuse, seulement structurer sa pensée dans un texte dont les différents points de démonstration sont clairement établis. En général, on donne des notations classiques et des noms simples aux différents objets utilisés. Par exemple, n une fois fixé, "K est défini comme le produit des n premiers nombres premiers consécutifs" se dit "K est la primorielle de n" et se note n# ou P(n). Ce qui permet de se rappeler que ce n'est pas une constante, mais une fonction de n. Au passage, tu avais écrit k dans ton message #1, qui n'est pas K.
Il serait bon que tu fasses cet effort pour éclairer ton raisonnement. Pour ma part, je n'ai compris
* ni où tu vas, ce que veux-tu démontrer exactement (l'hypothèse de Riemann porte sur les zéros de la fonction Zêta)
* ni ce que tu racontes sur la "façon de borner les possibilités restantes", vu que je ne sais pas, à ce moment-là, de quoi tu parles.

L'un des intérêts de rédiger strictement les preuves, en détaillant toutes les étapes, c'est que s'il y a un problème, il apparaît généralement à ce moment (*), les erreurs éventuelles restantes sont assez "profondes". Tu ne peux pas t'en dispenser, si tu crois vraiment à ta preuve. S'il y a des maladresses de rédaction mathématique, on t'aidera à les supprimer, mais les idées sont les tiennes, tu peux les communiquer.

Cordialement.
(*) Ça arrive souvent aux chercheurs, grand moment de solitude.

[Gui102]

L'hypothèse de Riemann est équivalente à la borne que j'ai donné.

Cette borne je l'obtiens en montrant tout d'abord que en se contentant d'ajouter les diviseurs de on produit d'abord un nombre parfaitement égaux de et (1)

Mais évidemment, compte chaque produits de nombres premiers distincts (y compris les nombres premiers eux-même) donc en ajoutant seulement les et correspondant aux diviseur de on ne peut bien évidemment pas savoir à l'avance la valeur de .

Etonnant donné l'argument 1, le but est maintenant de comprendre comment M(k) peut dévier. Le moyen pour faire cela est de compter le nombres de produits de n nombres premiers dont le résultat est que l'on rate en se contentant d'ajouter les diviseurs de
Et pour faire cela, on doit uniquement comprendre les produits dont le résultat est (2). On s'occupera du cas des nombres premiers restant à la fin. Il faut commencer par remarquer que pour vérifier (3) les produits de 2 nombres premiers et doivent posséder au moins un de leurs éléments (disons ) vérifiant (4). Donc puisque le plus petit élément possible des produits est , alors le nombre d'éléments maximum possibles qui satisfont cette condition est . désigne ici une constante. Cette constante vient du fait qu'avoir le nombre d'éléments possible ne suffit pas à déterminer le nombres d'arrangements possibles. Mais on peut faire l'analogie avec les façons d'arranger un ensemble à k éléments en sous ensemble à n éléments. Comme chaque produit possible à une longueur (ou nombre d'éléments) fixe, la croissance pour chaque produit possible ne dépend plus que de k.

Et l'argument donné pour se généralise à chaque produits à n éléments. Car chaque produit nécessite la condition d'avoir au moins un élément pour vérifier (2). Ce processus étant généralisé à chaque n, la fonction de Mertens doit alors vérifier : où désigne une constante réelle.
Bien sûr on a criblé uniquement les produits de nombres premiers et il manque encore les nombres premiers qui vérifient . Mais il est facile de voir que ces nombres premiers n'ont pas de poids sur la croissance asymptotique. Chaque nombre premier étant impair sauf , le pire cas (et que l'on sait être faux d'ailleurs) serait que pour nos k nombres on en ait k/2 qui soient premiers. Mais comme la fonction de Mertens se contente d'ajouter des et des , si la première moitié de la somme de ces et est bornée, la deuxième ne pourra jamais atteindre plus que la borne et n'aura une possible influence que sur la constante devant la borne.

Est-ce un peu plus clair ? Je comprends que l'idée derrière ne soit pas forcément la plus simple à suivre mais je vous promet qu'elle n'est pas farfelue.

[Gui102]

Il faut commencer par remarquer que pour vérifier (3)

Pardon je parlais de la condition 2, faute de frappe

[Gui102]

Je me suis encore mal exprimé et je m'en excuse. J'ai écris : "Donc puisque le plus petit élément possible des produits est ,, alors le nombre d'éléments maximum possibles qui satisfont cette condition est ","

En faite, au moins l'un des éléments des produits à n éléments considérés doit être . Donc le nombre total de ces produits doit être ,où C_n est une constante de nature combinatoire. Chaque n étant fixe, ils n'influent pas sur le comportement asymptotique de M(k), la croissance ne dépend que de k.

[Gui102]

Une autre correction par rapport à la phrase suivante : "Le moyen pour faire cela est de compter le nombres de produits de n nombres premiers [...]"

On compte les produits dont le nombre d'élément est <n.

[Gui102]

Ce nouvel éclaircissement est lié au précédent, j'ai écrit : "Bien sûr on a criblé uniquement les produits de nombres premiers "

Ce processus crible en faite tout les produits dont le nombre d'élément vérifie

[Gui102]

Et pour la remarque sur la primorielle, si l'on pose , la formule finale devrait ressembler à ça :

[Gui102]

Et pour résumer mon idée sur la façon de cribler les produits à éléments ( étant défini comme mon 3ème poste en partant de celui-ci) , il faut voir que le plus grand élément admissible est . Donc si le plus grand élément admissible est borné, alors le nombres d'éléments admissibles (i.e chaque nombre entier ) également et par la même borne, car ça sous entend que chaque nombre admissible est un nombre premier, ce qui n'est pas le cas. Mais cette borne dépend alors d'un terme. Car les produits ne dépendent pas simplement du nombre de candidat admissible mais des combinaisons de ces candidats. Mais comme le nombre de total de combinaison d'un ensemble à éléments en ensemble à m élément est , alors les constantes doivent être bornées par cette quantité, étant défini comme dans la formule dans le poste au dessus.

[HommePerdu]

Essaye de traduire ta solution et parles-en sur math.stackexchange.com .

[MissJenny]

Et pour résumer mon idée sur la façon de cribler les produits à éléments ( étant défini comme mon 3ème poste en partant de celui-ci) , il faut voir que le plus grand élément admissible est .

Ca n'est pas vrai. Si tu prends k = 2*3*5*7 = 210, on a 210^(1/3) = 5.94... mais 2*2*7 = 28 < 210 et 7 > 5.94...

[Gui102]

Pour Miss Jenny : je me suis mal exprimé je voulais dire le plus petit élément admissible. Et ton exemple fait d'ailleurs intervenir une répétition ce qui n'a pas de poids dans la valeur de la fonction Mertens (la fonction de Möbius vaut 0 si répétition d'un facteur).


Comme le plus petit membre doit vérifier cette condition, alors on peut toujours connaitre le nombre d'éléments qui peuvent la vérifier. Et ainsi en déduire les combinaisons de cet élément avec un facteur fixe.

Je sais que je ne suis pas toujours précis mais je pense que vous avez compris l'idée générale non ?

Et pour homme perdu : j'ai posté sur MO mais ils ferment directement les sujets qui demandent ce genre de correction de preuve.

[MissJenny]

et oui c'est le plus petit facteur qui doit être plus petit que la racine m-ième. Mais du coup ton comptage ne marche plus. Essaie d'écrire les chose précisément, au lieu de dire vaguement "on peut borner...".

Je suppose que tu as conscience du fait que ta démonstration est nécessairement fautive ?

[Gui102]

Bah justement c'est borné...

A partir du fait que tu as besoin qu'un des éléments de ton produit de longueur m vérifie, tu connais toujours le nombre maximum d'éléments admissibles. Donc grâce au nombre maximum d'élément admissibles, tu peux calculer le nombre de combinaison qu'il force et cela dépend de la constante . Mais comme le nombre de combinaisons possibles d'un ensemble à k éléments en sous ensembles à m éléments est , alors la constante est également bornée, l'indice m étant lié au nombre d'éléments de ton produits.
Donc grâce à ça tu sais que le nombre de produits de longueur m dont le résultat est sera toujours .

[MissJenny]

bla bla bla... calcule Cn au lieu de dire qu'on peut la calculer.