Bonjour à tous!
Oui le titre est possiblement provocateur et oui, je ne suis qu'un amateur neuneu de plus avec des prétentions qui dépassent l'entendement.
Toujours est-il que mon statut d'amateur me vaut une difficulté sans nom lorsqu'il s'agit de réussir à faire lire ma preuve car bien entendu, personne n'a de temps à accorder à un neuneuNéanmoins je trouve cet argument très joli et je le pense vrai.
Trèves de blabla et passons à mon argument: considérons l'identité(1) où
désigne le produit de n'importes quel nombres premiers distinct et où
désigne la fonction de Möbius qui vaut
lorsque n est le produit d'un nombre pair de nombres premiers distincts,
lorsque n est le produit d'un nombre impair de nombres premiers distincts et 0 sinon.
On appel maintenantle produit des n premiers nombres premiers distincts :
et on introduit la fonction de mertens
.
L'identité (1) nous dit que si l'on somme uniquement les diviseurs de k, alors on aura un nombre deet
parfaitement égaux. Bien sûr, cela ne suffit pas à conclure que
car on manque un tas de nombres premiers et de produits de nombres premiers
.
Mais là où les choses deviennent vraiment intéressante c'est qu'il existe une façon de borner les possibilités restante. Commençons par le cas des produits denombres premiers
. Il est d'abord très important de remarquer que, pour que la condition "être plus petit que
" soit vérifiée, au moins l'un des membres
de ce produit doit vérifier
. Ce qui signifie que, à une constante
près, le nombres de possibilités de produits de nombres premiers
est lui même borné par
.
Le même argument vaut pour les produits denombres premiers : l'un des éléments p doit vérifier
, à une constante multiplicative
près, car il est possible que les produits de n nombres premiers en question puissent posséder jusqu'à n-1 nombres p vérifiant la condition précédente. Mais cette constante ne dépendant que de n et la croissance dépendant de k, elle n'a que peu d'influence sur la croissance globale de
.
En répétant ce processus pour chaque produit de longueur n, on trouve :avec
une constante réelle et les
précédemment évoqués.
Bien sûr, ce que l'on a fait, c'est une sorte de cribles qui nous a donné une borne pour tout les produits mais il nous reste les nombres premiers. Heureusement, les nombres premiers n'influencent pas cette borne. On va montrer ça en prenant le pire cas possible : tout les nombres premiers exceptés 2 étant impair, le pire que l'on puisse avoir serait que pour,
nombres soient premiers. Mais puisque
n'est qu'une suite de
et
, si la moitié de ces
et
est bornée, alors l'autre moitié ne pourras pas être supérieur à la partie bornée. Donc les nombres premiers ne peuvent influencer que la constante
devant la borne.
Le membre de droite de la dernière équation étant, l'hypothèse de Riemann est alors vraie.
Je remercie d'avance quiconque prendra du temps pour voir que cet argument est parfaitement valable ou pour éventuellement pointé le pourquoi il ne l'est pas, toute progression possible est bonne à prendre pour moi.
-----