Nombre d'extrema

[Roc_]

Bonjour,

Je travaille sur un problème de régression, qui consiste à modéliser une série de données par une courbe paramétrique. Pour cela, je dois minimiser la fonction suivante, qui est la distance au carré entre les données et le modèle (selon la méthode des moindres carrés), normalisée par la variance du modèle:



où .

est le modèle,
est le nombre de données d'apprentissage,
est une donnée,
et sont la moyenne et la variance de par rapport à ,
et sont la moyenne et la variance de par rapport à .

Ma question est: combien de minima et de maxima possède ?

Je vous remercie
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[gg0]

Bonjour.

Tu devrais pouvoir facilement répondre toi-même à ta question, puisque g(m,x) est connu. Commence par calculer mean(g(m,x)) et var(g(m,x)), puis effectue tous les calculs pour travailler avec une expression simple, où il ne reste que les c inconnus.
Si tu ne vois pas à ce moment, reviens présenter tes calculs, on verra ce qu'on peut faire.

Bon travail !

[Roc_]

Merci gg0. Le calcul de donne .

Je ne crois pas que ça va m'avancer beaucoup. Au moins, ça aide à montrer que le numérateur (distance au carré non normalisée) est un polynôme de degré M+1, donc possède M extrema.
Mais qu'en est-il du rapport entre ce numérateur et la variance du modèle ?

[gg0]

Oui, il ne faut pas rêver, ce genre d'expression, surtout avec M variable, ne donne pas trop d'espoir de faire une minimisation par le calcul. Et en faisant ces calculs (tu n'as pas encore regardé la variance), on se rend compte que la réponse à ta question est "impossible de savoir" (sauf grosse surprise). Quant à minimiser cela, surtout pour moi qui n'ai aucune raison de choisir un tel modèle, c'est d'autres raisons qui pourraient permettre de le faire, mais pas le calcul.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

dans ton expression il y a un "}" mais il n'y a pas le "{" correspondant.

sinon, le fait de diviser par la variance n'est pas usuel. Ca signifie que tu vas préférer un modèle plus loin des données qu'un autre s'il a une variance plus faible. Ca pourrait être une façon d'éviter le "sur-ajustement" (overfitting) sauf que tu vas estimer la variance à l'aide des observations, donc finalement je ne sais pas si ça aide vraiment.

[Roc_]

Merci gg0.

MissJenny: Je divise par la variance car lorsque cette variance est égale à 0, le numérateur est aussi égal à 0, même si le modèle ne coincide pas avec les données.