Démonstration avec logarithme

[silver981]

Bonjour ,
Veuillez trouver en pièce jointe l'intitulé de mon exercice ,
je suis complètement perdu , j'ai essayé toutes les propriétés du logarithme , changement de base etc je n'arrive à rien pouvez-vous m'aider svp?

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[mach3]

Bien regarder log₉(x) = log₁₂(x). Si rien saute aux yeux spontanément, réécrire cette égalité suivant la propriété donnée (log_ax = ln x / ln a ) et isoler ln x.

Constater ensuite que cet exercice est à la limite de la blague

m@ch3

[gg0]

Bonjour Mach3.

" ... à la limite de la blague" Je te trouve gentil. Moi je le pense faux (mal recopié, inventé par imitation sans vérifications, ...)

Cordialement.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Le pense qu'il y a une erreur d'énoncé.

Je suggère de remplacer les relations de l'énoncé par celles-ci :

[A voir en vidéo sur Futura]

[silver981]

Bonjour,
je m'en doutais bien, merci beaucoup pour votre réponse, l'exercice devient maintenant faisable avec ces relations.

[silver981]

Bonjour,
merci pour votre réponse.

[silver981]

Avec ces relations j'abouti à y/(x+y) = x^( ln(9)/ln12 ) / y^( ln(16)/ln12 ) .
Je suis parti de x+y = y^( ln(16)/ln12 ) .
Donc 1/(x+y) = 1/y^( ln(16)/ln12 ).
On en déduit que y/(x+y) = x^( ln(9)/ln12 ) / y^( ln(16)/ln12 ) en utilisant y= x^( ln(9)/ln12 ).
Une idée pour avancer?

[Black Jack 2]

Bonjour,

En éliminant y entre les 2 équations du message avec l'énoncé corrigé, j'arrive à l'équation :

x + x^(ln(12)/ln(9)) = x^(ln(16)/ln(9))

Qui donne comme solution > 0 la seule valeur approchée : x = 39,46221...

qui permet d'en déduire y = 63,8511967...

Qui semblent bien vérifier la relation x/y = y/(x+y) et donc une bonne probabilité d'exactitude pour l'énoncé corrigé.

Mais il faut arriver à faire la même chose sans passer par les valeurs approchées.

Et ce n'est pas immédiat ... du moins pour moi.

[Black Jack 2]

Bonjour,

En triturant les calculs, j'arrive à :



et

[jacknicklaus]

Bonjour,

Notre objectif est de démontrer L(x)+L(x+y) = 2L(y) (équivalent en Log de l'équation demandée)

indice :
donc cherchons à exprimer L(x) et L(x+y) avec seulement L(y) et des constantes
En remarquant que L(9) = 2L(3), que L(12) = L(3)+L(4) et enfin que L(16) = 2L(4)
on arrive sans peine au résultat voulu.